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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

x = 32, \frac{8}{3}

x=32 , \frac{8}{3}

Forma de número misto:

x = 32, 2 \frac{2}{3}

x=32 , 2\frac{2}{3}

Forma decimal:

x = 32, 2, 667

x=32 , 2,667

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| \frac{1}{2} x - 5 | = | \frac{1}{4} x + 3 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x - 5 \| = \| \frac{1}{4} x + 3 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} x - 5) = (\frac{1}{4} x + 3)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} x - 5) = - (\frac{1}{4} x + 3)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} x - 5) = (\frac{1}{4} x + 3)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} x - 5) = (\frac{1}{4} x + 3)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x - 5 \| = \| \frac{1}{4} x + 3 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} x - 5) = (\frac{1}{4} x + 3)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} x - 5) = - (\frac{1}{4} x + 3)$

2. Resolva as duas equações para x

20 passos adicionais

$(\frac{1}{2} \cdot x - 5) = (\frac{1}{4} x + 3)$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{1}{2} x - 5) - \frac{1}{4} \cdot x = (\frac{1}{4} x + 3) - \frac{1}{4} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{4} \cdot x) - 5 = (\frac{1}{4} \cdot x + 3) - \frac{1}{4} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 1}{4}) x - 5 = (\frac{1}{4} \cdot x + 3) - \frac{1}{4} x$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{(2 \cdot 2)} + \frac{- 1}{4}) x - 5 = (\frac{1}{4} \cdot x + 3) - \frac{1}{4} x$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{4} + \frac{- 1}{4}) x - 5 = (\frac{1}{4} \cdot x + 3) - \frac{1}{4} x$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{2}{4} + \frac{- 1}{4}) x - 5 = (\frac{1}{4} \cdot x + 3) - \frac{1}{4} x$

Combinar as frações:

$\frac{(2 - 1)}{4} \cdot x - 5 = (\frac{1}{4} \cdot x + 3) - \frac{1}{4} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{1}{4} \cdot x - 5 = (\frac{1}{4} \cdot x + 3) - \frac{1}{4} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{1}{4} \cdot x - 5 = (\frac{1}{4} \cdot x + \frac{- 1}{4} x) + 3$

Combinar as frações:

$\frac{1}{4} \cdot x - 5 = \frac{(1 - 1)}{4} x + 3$

Combinar os numeradores:

$\frac{1}{4} \cdot x - 5 = \frac{0}{4} x + 3$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{1}{4} x - 5 = 0 x + 3$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{1}{4} x - 5 = 3$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{1}{4} x - 5) + 5 = 3 + 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{1}{4} x = 3 + 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{1}{4} x = 8$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{1}{4} x) \cdot \frac{4}{1} = 8 \cdot \frac{4}{1}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{4} \cdot 4) x = 8 \cdot \frac{4}{1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(1 \cdot 4)}{4} x = 8 \cdot \frac{4}{1}$

Simplificar a fração:

$x = 8 \cdot \frac{4}{1}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = 32$

22 passos adicionais

$(\frac{1}{2} x - 5) = - (\frac{1}{4} x + 3)$

Expandir os parêntesis:

$(\frac{1}{2} \cdot x - 5) = \frac{- 1}{4} x - 3$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{1}{2} x - 5) + \frac{1}{4} \cdot x = (\frac{- 1}{4} x - 3) + \frac{1}{4} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{4} \cdot x) - 5 = (\frac{- 1}{4} \cdot x - 3) + \frac{1}{4} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) x - 5 = (\frac{- 1}{4} \cdot x - 3) + \frac{1}{4} x$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{(2 \cdot 2)} + \frac{1}{4}) x - 5 = (\frac{- 1}{4} \cdot x - 3) + \frac{1}{4} x$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{4} + \frac{1}{4}) x - 5 = (\frac{- 1}{4} \cdot x - 3) + \frac{1}{4} x$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{2}{4} + \frac{1}{4}) x - 5 = (\frac{- 1}{4} \cdot x - 3) + \frac{1}{4} x$

Combinar as frações:

$\frac{(2 + 1)}{4} \cdot x - 5 = (\frac{- 1}{4} \cdot x - 3) + \frac{1}{4} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{3}{4} \cdot x - 5 = (\frac{- 1}{4} \cdot x - 3) + \frac{1}{4} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{3}{4} \cdot x - 5 = (\frac{- 1}{4} \cdot x + \frac{1}{4} x) - 3$

Combinar as frações:

$\frac{3}{4} \cdot x - 5 = \frac{(- 1 + 1)}{4} x - 3$

Combinar os numeradores:

$\frac{3}{4} \cdot x - 5 = \frac{0}{4} x - 3$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{3}{4} x - 5 = 0 x - 3$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{3}{4} x - 5 = - 3$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{3}{4} x - 5) + 5 = - 3 + 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{3}{4} x = - 3 + 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{3}{4} x = 2$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{3}{4} x) \cdot \frac{4}{3} = 2 \cdot \frac{4}{3}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}) x = 2 \cdot \frac{4}{3}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(3 \cdot 4)}{(4 \cdot 3)} x = 2 \cdot \frac{4}{3}$

Simplificar a fração:

$x = 2 \cdot \frac{4}{3}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(2 \cdot 4)}{3}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = \frac{8}{3}$

3. Liste as soluções

$x = 32, \frac{8}{3}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | \frac{1}{2} x - 5 |$
$y = | \frac{1}{4} x + 3 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para x

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