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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

x = - 24, \frac{12}{7}

x=-24 , \frac{12}{7}

Forma de número misto:

x = - 24, 1 \frac{5}{7}

x=-24 , 1\frac{5}{7}

Forma decimal:

x = - 24, 1, 714

x=-24 , 1,714

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| \frac{1}{2} x - 3 | = | \frac{2}{3} x + 1 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x - 3 \| = \| \frac{2}{3} x + 1 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} x - 3) = (\frac{2}{3} x + 1)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} x - 3) = - (\frac{2}{3} x + 1)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} x - 3) = (\frac{2}{3} x + 1)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} x - 3) = (\frac{2}{3} x + 1)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x - 3 \| = \| \frac{2}{3} x + 1 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} x - 3) = (\frac{2}{3} x + 1)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} x - 3) = - (\frac{2}{3} x + 1)$

2. Resolva as duas equações para x

21 passos adicionais

$(\frac{1}{2} \cdot x - 3) = (\frac{2}{3} x + 1)$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{1}{2} x - 3) - \frac{2}{3} \cdot x = (\frac{2}{3} x + 1) - \frac{2}{3} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 2}{3} \cdot x) - 3 = (\frac{2}{3} \cdot x + 1) - \frac{2}{3} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 2}{3}) x - 3 = (\frac{2}{3} \cdot x + 1) - \frac{2}{3} x$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{(- 2 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)}) x - 3 = (\frac{2}{3} \cdot x + 1) - \frac{2}{3} x$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{6} + \frac{(- 2 \cdot 2)}{6}) x - 3 = (\frac{2}{3} \cdot x + 1) - \frac{2}{3} x$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{3}{6} + \frac{- 4}{6}) x - 3 = (\frac{2}{3} \cdot x + 1) - \frac{2}{3} x$

Combinar as frações:

$\frac{(3 - 4)}{6} \cdot x - 3 = (\frac{2}{3} \cdot x + 1) - \frac{2}{3} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 1}{6} \cdot x - 3 = (\frac{2}{3} \cdot x + 1) - \frac{2}{3} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{- 1}{6} \cdot x - 3 = (\frac{2}{3} \cdot x + \frac{- 2}{3} x) + 1$

Combinar as frações:

$\frac{- 1}{6} \cdot x - 3 = \frac{(2 - 2)}{3} x + 1$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 1}{6} \cdot x - 3 = \frac{0}{3} x + 1$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{- 1}{6} x - 3 = 0 x + 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 1}{6} x - 3 = 1$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{- 1}{6} x - 3) + 3 = 1 + 3$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 1}{6} x = 1 + 3$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 1}{6} x = 4$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{- 1}{6} x) \cdot \frac{6}{- 1} = 4 \cdot \frac{6}{- 1}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{- 1}{6} \cdot - 6) x = 4 \cdot \frac{6}{- 1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(- 1 \cdot - 6)}{6} x = 4 \cdot \frac{6}{- 1}$

Simplificar a expressão aritmética:

$1 x = 4 \cdot \frac{6}{- 1}$

$x = 4 \cdot \frac{6}{- 1}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = - 24$

22 passos adicionais

$(\frac{1}{2} x - 3) = - (\frac{2}{3} x + 1)$

Expandir os parêntesis:

$(\frac{1}{2} \cdot x - 3) = \frac{- 2}{3} x - 1$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{1}{2} x - 3) + \frac{2}{3} \cdot x = (\frac{- 2}{3} x - 1) + \frac{2}{3} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{2}{3} \cdot x) - 3 = (\frac{- 2}{3} \cdot x - 1) + \frac{2}{3} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{2}{3}) x - 3 = (\frac{- 2}{3} \cdot x - 1) + \frac{2}{3} x$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{(2 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)}) x - 3 = (\frac{- 2}{3} \cdot x - 1) + \frac{2}{3} x$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{6} + \frac{(2 \cdot 2)}{6}) x - 3 = (\frac{- 2}{3} \cdot x - 1) + \frac{2}{3} x$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{3}{6} + \frac{4}{6}) x - 3 = (\frac{- 2}{3} \cdot x - 1) + \frac{2}{3} x$

Combinar as frações:

$\frac{(3 + 4)}{6} \cdot x - 3 = (\frac{- 2}{3} \cdot x - 1) + \frac{2}{3} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{7}{6} \cdot x - 3 = (\frac{- 2}{3} \cdot x - 1) + \frac{2}{3} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{7}{6} \cdot x - 3 = (\frac{- 2}{3} \cdot x + \frac{2}{3} x) - 1$

Combinar as frações:

$\frac{7}{6} \cdot x - 3 = \frac{(- 2 + 2)}{3} x - 1$

Combinar os numeradores:

$\frac{7}{6} \cdot x - 3 = \frac{0}{3} x - 1$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{7}{6} x - 3 = 0 x - 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{7}{6} x - 3 = - 1$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{7}{6} x - 3) + 3 = - 1 + 3$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{7}{6} x = - 1 + 3$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{7}{6} x = 2$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{7}{6} x) \cdot \frac{6}{7} = 2 \cdot \frac{6}{7}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{7}{6} \cdot \frac{6}{7}) x = 2 \cdot \frac{6}{7}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(7 \cdot 6)}{(6 \cdot 7)} x = 2 \cdot \frac{6}{7}$

Simplificar a fração:

$x = 2 \cdot \frac{6}{7}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(2 \cdot 6)}{7}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = \frac{12}{7}$

3. Liste as soluções

$x = - 24, \frac{12}{7}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | \frac{1}{2} x - 3 |$
$y = | \frac{2}{3} x + 1 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para x

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