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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

x = 5, 1

x=5 , 1

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} | = | \frac{3}{2} x - \frac{7}{2} |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} \| = \| \frac{3}{2} x - \frac{7}{2} \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) = (\frac{3}{2} x - \frac{7}{2})$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) = - (\frac{3}{2} x - \frac{7}{2})$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) = (\frac{3}{2} x - \frac{7}{2})$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) = (\frac{3}{2} x - \frac{7}{2})$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} \| = \| \frac{3}{2} x - \frac{7}{2} \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) = (\frac{3}{2} x - \frac{7}{2})$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) = - (\frac{3}{2} x - \frac{7}{2})$

2. Resolva as duas equações para x

23 passos adicionais

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{3}{2}) = (\frac{3}{2} x + \frac{- 7}{2})$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) - \frac{3}{2} \cdot x = (\frac{3}{2} x + \frac{- 7}{2}) - \frac{3}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 3}{2} \cdot x) + \frac{3}{2} = (\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 7}{2}) - \frac{3}{2} x$

Combinar as frações:

$\frac{(1 - 3)}{2} \cdot x + \frac{3}{2} = (\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 7}{2}) - \frac{3}{2} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 2}{2} \cdot x + \frac{3}{2} = (\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 7}{2}) - \frac{3}{2} x$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$\frac{(- 1 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)} \cdot x + \frac{3}{2} = (\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 7}{2}) - \frac{3}{2} x$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$- 1 x + \frac{3}{2} = (\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 7}{2}) - \frac{3}{2} x$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x + \frac{3}{2} = (\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 7}{2}) - \frac{3}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$- x + \frac{3}{2} = (\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 3}{2} x) + \frac{- 7}{2}$

Combinar as frações:

$- x + \frac{3}{2} = \frac{(3 - 3)}{2} x + \frac{- 7}{2}$

Combinar os numeradores:

$- x + \frac{3}{2} = \frac{0}{2} x + \frac{- 7}{2}$

Reduzir o numerador zero:

$- x + \frac{3}{2} = 0 x + \frac{- 7}{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x + \frac{3}{2} = \frac{- 7}{2}$

Subtrair de ambos os lados:

$(- x + \frac{3}{2}) - \frac{3}{2} = (\frac{- 7}{2}) - \frac{3}{2}$

Combinar as frações:

$- x + \frac{(3 - 3)}{2} = (\frac{- 7}{2}) - \frac{3}{2}$

Combinar os numeradores:

$- x + \frac{0}{2} = (\frac{- 7}{2}) - \frac{3}{2}$

Reduzir o numerador zero:

$- x + 0 = (\frac{- 7}{2}) - \frac{3}{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x = (\frac{- 7}{2}) - \frac{3}{2}$

Combinar as frações:

$- x = \frac{(- 7 - 3)}{2}$

Combinar os numeradores:

$- x = \frac{- 10}{2}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$- x = \frac{(- 5 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$- x = - 5$

Multiplicar ambos os lados por :

$- x \cdot - 1 = - 5 \cdot - 1$

Remover o(s) um(ns):

$x = - 5 \cdot - 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = 5$

23 passos adicionais

$(\frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) = - (\frac{3}{2} x + \frac{- 7}{2})$

Expandir os parêntesis:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{2} x + \frac{7}{2}$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} \cdot x = (\frac{- 3}{2} x + \frac{7}{2}) + \frac{3}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{3}{2} \cdot x) + \frac{3}{2} = (\frac{- 3}{2} \cdot x + \frac{7}{2}) + \frac{3}{2} x$

Combinar as frações:

$\frac{(1 + 3)}{2} \cdot x + \frac{3}{2} = (\frac{- 3}{2} \cdot x + \frac{7}{2}) + \frac{3}{2} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{4}{2} \cdot x + \frac{3}{2} = (\frac{- 3}{2} \cdot x + \frac{7}{2}) + \frac{3}{2} x$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$\frac{(2 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)} \cdot x + \frac{3}{2} = (\frac{- 3}{2} \cdot x + \frac{7}{2}) + \frac{3}{2} x$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$2 x + \frac{3}{2} = (\frac{- 3}{2} \cdot x + \frac{7}{2}) + \frac{3}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$2 x + \frac{3}{2} = (\frac{- 3}{2} \cdot x + \frac{3}{2} x) + \frac{7}{2}$

Combinar as frações:

$2 x + \frac{3}{2} = \frac{(- 3 + 3)}{2} x + \frac{7}{2}$

Combinar os numeradores:

$2 x + \frac{3}{2} = \frac{0}{2} x + \frac{7}{2}$

Reduzir o numerador zero:

$2 x + \frac{3}{2} = 0 x + \frac{7}{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$

Subtrair de ambos os lados:

$(2 x + \frac{3}{2}) - \frac{3}{2} = (\frac{7}{2}) - \frac{3}{2}$

Combinar as frações:

$2 x + \frac{(3 - 3)}{2} = (\frac{7}{2}) - \frac{3}{2}$

Combinar os numeradores:

$2 x + \frac{0}{2} = (\frac{7}{2}) - \frac{3}{2}$

Reduzir o numerador zero:

$2 x + 0 = (\frac{7}{2}) - \frac{3}{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x = (\frac{7}{2}) - \frac{3}{2}$

Combinar as frações:

$2 x = \frac{(7 - 3)}{2}$

Combinar os numeradores:

$2 x = \frac{4}{2}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$2 x = \frac{(2 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$2 x = 2$

Dividir ambos os lados por :

$\frac{(2 x)}{2} = \frac{2}{2}$

Simplificar a fração:

$x = \frac{2}{2}$

Simplificar a fração:

$x = 1$

3. Liste as soluções

$x = 5, 1$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} |$
$y = | \frac{3}{2} x - \frac{7}{2} |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para x

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