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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

t = - \frac{75}{8}, \frac{225}{23}

t=-\frac{75}{8} , \frac{225}{23}

Forma de número misto:

t = - 9 \frac{3}{8}, 9 \frac{18}{23}

t=-9\frac{3}{8} , 9\frac{18}{23}

Forma decimal:

t = - 9, 375, 9, 783

t=-9,375 , 9,783

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| - 5 t + 100 | = | - \frac{31}{3} t + 50 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| - 5 t + 100 \| = \| - \frac{31}{3} t + 50 \|$
$x = + y$	$(- 5 t + 100) = (- \frac{31}{3} t + 50)$
$x = - y$	$(- 5 t + 100) = - (- \frac{31}{3} t + 50)$
$+ x = y$	$(- 5 t + 100) = (- \frac{31}{3} t + 50)$
$- x = y$	$- (- 5 t + 100) = (- \frac{31}{3} t + 50)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| - 5 t + 100 \| = \| - \frac{31}{3} t + 50 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(- 5 t + 100) = (- \frac{31}{3} t + 50)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(- 5 t + 100) = - (- \frac{31}{3} t + 50)$

2. Resolva as duas equações para t

19 passos adicionais

$(- 5 t + 100) = (\frac{- 31}{3} t + 50)$

Adicionar em ambos os lados:

$(- 5 t + 100) + \frac{31}{3} \cdot t = (\frac{- 31}{3} t + 50) + \frac{31}{3} t$

Agrupar termos semelhantes:

$(- 5 t + \frac{31}{3} \cdot t) + 100 = (\frac{- 31}{3} \cdot t + 50) + \frac{31}{3} t$

Agrupar coeficientes:

$(- 5 + \frac{31}{3}) t + 100 = (\frac{- 31}{3} \cdot t + 50) + \frac{31}{3} t$

Converter o número inteiro numa fração:

$(\frac{- 15}{3} + \frac{31}{3}) t + 100 = (\frac{- 31}{3} \cdot t + 50) + \frac{31}{3} t$

Combinar as frações:

$\frac{(- 15 + 31)}{3} \cdot t + 100 = (\frac{- 31}{3} \cdot t + 50) + \frac{31}{3} t$

Combinar os numeradores:

$\frac{16}{3} \cdot t + 100 = (\frac{- 31}{3} \cdot t + 50) + \frac{31}{3} t$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{16}{3} \cdot t + 100 = (\frac{- 31}{3} \cdot t + \frac{31}{3} t) + 50$

Combinar as frações:

$\frac{16}{3} \cdot t + 100 = \frac{(- 31 + 31)}{3} t + 50$

Combinar os numeradores:

$\frac{16}{3} \cdot t + 100 = \frac{0}{3} t + 50$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{16}{3} t + 100 = 0 t + 50$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{16}{3} t + 100 = 50$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{16}{3} t + 100) - 100 = 50 - 100$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{16}{3} t = 50 - 100$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{16}{3} t = - 50$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{16}{3} t) \cdot \frac{3}{16} = - 50 \cdot \frac{3}{16}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{16}{3} \cdot \frac{3}{16}) t = - 50 \cdot \frac{3}{16}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(16 \cdot 3)}{(3 \cdot 16)} t = - 50 \cdot \frac{3}{16}$

Simplificar a fração:

$t = - 50 \cdot \frac{3}{16}$

Multiplicar as frações:

$t = \frac{(- 50 \cdot 3)}{16}$

Simplificar a expressão aritmética:

$t = \frac{- 75}{8}$

23 passos adicionais

$(- 5 t + 100) = - (\frac{- 31}{3} t + 50)$

Expandir os parêntesis:

$(- 5 t + 100) = \frac{31}{3} t - 50$

Subtrair de ambos os lados:

$(- 5 t + 100) - \frac{31}{3} \cdot t = (\frac{31}{3} t - 50) - \frac{31}{3} t$

Agrupar termos semelhantes:

$(- 5 t + \frac{- 31}{3} \cdot t) + 100 = (\frac{31}{3} \cdot t - 50) - \frac{31}{3} t$

Agrupar coeficientes:

$(- 5 + \frac{- 31}{3}) t + 100 = (\frac{31}{3} \cdot t - 50) - \frac{31}{3} t$

Converter o número inteiro numa fração:

$(\frac{- 15}{3} + \frac{- 31}{3}) t + 100 = (\frac{31}{3} \cdot t - 50) - \frac{31}{3} t$

Combinar as frações:

$\frac{(- 15 - 31)}{3} \cdot t + 100 = (\frac{31}{3} \cdot t - 50) - \frac{31}{3} t$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 46}{3} \cdot t + 100 = (\frac{31}{3} \cdot t - 50) - \frac{31}{3} t$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{- 46}{3} \cdot t + 100 = (\frac{31}{3} \cdot t + \frac{- 31}{3} t) - 50$

Combinar as frações:

$\frac{- 46}{3} \cdot t + 100 = \frac{(31 - 31)}{3} t - 50$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 46}{3} \cdot t + 100 = \frac{0}{3} t - 50$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{- 46}{3} t + 100 = 0 t - 50$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 46}{3} t + 100 = - 50$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{- 46}{3} t + 100) - 100 = - 50 - 100$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 46}{3} t = - 50 - 100$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 46}{3} t = - 150$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{- 46}{3} t) \cdot \frac{3}{- 46} = - 150 \cdot \frac{3}{- 46}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$\frac{- 46}{3} t \cdot \frac{- 3}{46} = - 150 \cdot \frac{3}{- 46}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{- 46}{3} \cdot \frac{- 3}{46}) t = - 150 \cdot \frac{3}{- 46}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(- 46 \cdot - 3)}{(3 \cdot 46)} t = - 150 \cdot \frac{3}{- 46}$

Simplificar a expressão aritmética:

$1 t = - 150 \cdot \frac{3}{- 46}$

$t = - 150 \cdot \frac{3}{- 46}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$t = - 150 \cdot \frac{- 3}{46}$

Multiplicar as frações:

$t = \frac{(- 150 \cdot - 3)}{46}$

Simplificar a expressão aritmética:

$t = \frac{225}{23}$

3. Liste as soluções

$t = - \frac{75}{8}, \frac{225}{23}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | - 5 t + 100 |$
$y = | - \frac{31}{3} t + 50 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para t

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