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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = - 0, 25

r=-0,25

A soma desta sequência é:

s = 6375

s=6375

A forma geral desta série é:

a_{n} = 8000 \cdot - 0, 25^{n - 1}

a_n=8000*-0,25^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

8000, - 2000, 500, - 125, 31, 25, - 7, 8125, 1, 953125, - 0, 48828125, 0, 1220703125, - 0, 030517578125

8000,-2000,500,-125,31,25,-7,8125,1,953125,-0,48828125,0,1220703125,-0,030517578125

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = - \frac{2000}{8000} = - 0, 25$

$a_{3} a_{2} = \frac{500}{-} 2000 = - 0, 25$

$a_{4} a_{3} = - \frac{125}{500} = - 0, 25$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = - 0, 25$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 8.000$ , a razão comum: $r = - 0, 25$ e o número de elementos $n = 4$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{4} = 8000 * ((1 - - 0, 25^{4}) / (1 - - 0, 25))$

$s_{4} = 8000 * ((1 - 0, 00390625) / (1 - - 0, 25))$

$s_{4} = 8000 * (0, 99609375 / (1 - - 0, 25))$

$s_{4} = 8000 * (0, 99609375 / 1, 25)$

$s_{4} = 8000 \cdot 0, 796875$

$s_{4} = 6375$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 8.000$ e a razão comum: $r = - 0, 25$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 8000 \cdot - 0, 25^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 8000$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8000 \cdot - 0, 25^{2 - 1} = 8000 \cdot - 0, 25^{1} = 8000 \cdot - 0, 25 = - 2000$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8000 \cdot - 0, 25^{3 - 1} = 8000 \cdot - 0, 25^{2} = 8000 \cdot 0, 0625 = 500$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8000 \cdot - 0, 25^{4 - 1} = 8000 \cdot - 0, 25^{3} = 8000 \cdot - 0, 015625 = - 125$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8000 \cdot - 0, 25^{5 - 1} = 8000 \cdot - 0, 25^{4} = 8000 \cdot 0, 00390625 = 31, 25$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8000 \cdot - 0, 25^{6 - 1} = 8000 \cdot - 0, 25^{5} = 8000 \cdot - 0, 0009765625 = - 7, 8125$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8000 \cdot - 0, 25^{7 - 1} = 8000 \cdot - 0, 25^{6} = 8000 \cdot 0, 000244140625 = 1, 953125$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8000 \cdot - 0, 25^{8 - 1} = 8000 \cdot - 0, 25^{7} = 8000 \cdot - 6, 103515625 E - 05 = - 0, 48828125$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8000 \cdot - 0, 25^{9 - 1} = 8000 \cdot - 0, 25^{8} = 8000 \cdot 1, 52587890625 E - 05 = 0, 1220703125$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 8000 \cdot - 0, 25^{10 - 1} = 8000 \cdot - 0, 25^{9} = 8000 \cdot - 3, 814697265625 E - 06 = - 0, 030517578125$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas