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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 0, 3333333333333333

r=0,3333333333333333

A soma desta sequência é:

s = 1480

s=1480

A forma geral desta série é:

a_{n} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{n - 1}

a_n=999*0,3333333333333333^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

999, 333, 111, 36, 99999999999999, 12, 33333333333333, 4, 11111111111111, 1, 3703703703703698, 0, 45679012345678993, 0, 15226337448559663, 0, 050754458161865544

999,333,111,36,99999999999999,12,33333333333333,4,11111111111111,1,3703703703703698,0,45679012345678993,0,15226337448559663,0,050754458161865544

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{333}{999} = 0, 3333333333333333$

$a_{3} a_{2} = \frac{111}{333} = 0, 3333333333333333$

$a_{4} a_{3} = \frac{37}{111} = 0, 3333333333333333$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 0, 3333333333333333$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 999$ , a razão comum: $r = 0, 3333333333333333$ e o número de elementos $n = 4$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{4} = 999 * ((1 - 0, 3333333333333333^{4}) / (1 - 0, 3333333333333333))$

$s_{4} = 999 * ((1 - 0, 012345679012345677) / (1 - 0, 3333333333333333))$

$s_{4} = 999 * (0, 9876543209876544 / (1 - 0, 3333333333333333))$

$s_{4} = 999 * (0, 9876543209876544 / 0, 6666666666666667)$

$s_{4} = 999 \cdot 1, 4814814814814814$

$s_{4} = 1480$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 999$ e a razão comum: $r = 0, 3333333333333333$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 999$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{2 - 1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333 = 333$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{3 - 1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{2} = 999 \cdot 0, 1111111111111111 = 111$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{4 - 1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{3} = 999 \cdot 0, 03703703703703703 = 36, 99999999999999$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{5 - 1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{4} = 999 \cdot 0, 012345679012345677 = 12, 33333333333333$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{6 - 1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{5} = 999 \cdot 0, 004115226337448558 = 4, 11111111111111$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{7 - 1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{6} = 999 \cdot 0, 0013717421124828527 = 1, 3703703703703698$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{8 - 1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{7} = 999 \cdot 0, 00045724737082761756 = 0, 45679012345678993$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{9 - 1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{8} = 999 \cdot 0, 0001524157902758725 = 0, 15226337448559663$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{10 - 1} = 999 \cdot 0, 3333333333333333^{9} = 999 \cdot 5, 0805263425290837 E - 05 = 0, 050754458161865544$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas