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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 42, 69230769230769

r=42,69230769230769

A soma desta sequência é:

s = 3408

s=3408

A forma geral desta série é:

a_{n} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{n - 1}

a_n=78*42,69230769230769^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

78, 3330, 142165, 38461538462, 6069368, 343195267, 259115340, 80564407, 11062231857, 471727, 472272206222, 8315, 20162390342590, 113, 860778972318270, 2, 36748640741280000

78,3330,142165,38461538462,6069368,343195267,259115340,80564407,11062231857,471727,472272206222,8315,20162390342590,113,860778972318270,2,36748640741280000

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{3330}{78} = 42, 69230769230769$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 42, 69230769230769$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 78$ , a razão comum: $r = 42, 69230769230769$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 78 * ((1 - 42, 69230769230769^{2}) / (1 - 42, 69230769230769))$

$s_{2} = 78 * ((1 - 1822, 6331360946747) / (1 - 42, 69230769230769))$

$s_{2} = 78 * (- 1821, 6331360946747 / (1 - 42, 69230769230769))$

$s_{2} = 78 * (- 1821, 6331360946747 / - 41, 69230769230769)$

$s_{2} = 78 \cdot 43, 69230769230769$

$s_{2} = 3408$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 78$ e a razão comum: $r = 42, 69230769230769$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 78$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{2 - 1} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{1} = 78 \cdot 42, 69230769230769 = 3330$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{3 - 1} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{2} = 78 \cdot 1822, 6331360946747 = 142165, 38461538462$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{4 - 1} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{3} = 78 \cdot 77812, 41465634957 = 6069368, 343195267$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{5 - 1} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{4} = 78 \cdot 3321991, 5487903086 = 259115340, 80564407$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{6 - 1} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{5} = 78 \cdot 141823485, 35220164 = 11062231857, 471727$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{7 - 1} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{6} = 78 \cdot 6054771874, 651686 = 472272206222, 8315$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{8 - 1} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{7} = 78 \cdot 258492183879, 36044 = 20162390342590, 113$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{9 - 1} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{8} = 78 \cdot 11035627850234, 234 = 860778972318270, 2$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{10 - 1} = 78 \cdot 42, 69230769230769^{9} = 78 \cdot 471136419760000 = 36748640741280000$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas