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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 0, 6923076923076923

r=0,6923076923076923

A soma desta sequência é:

s = 110

s=110

A forma geral desta série é:

a_{n} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{n - 1}

a_n=65*0,6923076923076923^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

65, 45, 31, 15384615384615, 21, 568047337278106, 14, 931725079654072, 10, 337348132068204, 7, 156625629893372, 4, 954586974541565, 3, 4300986746826214, 2, 3746836978571997

65,45,31,15384615384615,21,568047337278106,14,931725079654072,10,337348132068204,7,156625629893372,4,954586974541565,3,4300986746826214,2,3746836978571997

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{45}{65} = 0, 6923076923076923$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 0, 6923076923076923$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 65$ , a razão comum: $r = 0, 6923076923076923$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 65 * ((1 - 0, 6923076923076923^{2}) / (1 - 0, 6923076923076923))$

$s_{2} = 65 * ((1 - 0, 4792899408284023) / (1 - 0, 6923076923076923))$

$s_{2} = 65 * (0, 5207100591715976 / (1 - 0, 6923076923076923))$

$s_{2} = 65 * (0, 5207100591715976 / 0, 3076923076923077)$

$s_{2} = 65 \cdot 1, 6923076923076923$

$s_{2} = 110$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 65$ e a razão comum: $r = 0, 6923076923076923$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 65$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{2 - 1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923 = 45$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{3 - 1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{2} = 65 \cdot 0, 4792899408284023 = 31, 15384615384615$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{4 - 1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{3} = 65 \cdot 0, 3318161128812016 = 21, 568047337278106$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{5 - 1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{4} = 65 \cdot 0, 2297188473792934 = 14, 931725079654072$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{6 - 1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{5} = 65 \cdot 0, 1590361251087416 = 10, 337348132068204$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{7 - 1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{6} = 65 \cdot 0, 11010193276759034 = 7, 156625629893372$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{8 - 1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{7} = 65 \cdot 0, 07622441499294715 = 4, 954586974541565$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{9 - 1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{8} = 65 \cdot 0, 0527707488412711 = 3, 4300986746826214$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{10 - 1} = 65 \cdot 0, 6923076923076923^{9} = 65 \cdot 0, 036533595351649226 = 2, 3746836978571997$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas