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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 9

r=9

A soma desta sequência é:

s = 44286

s=44286

A forma geral desta série é:

a_{n} = 6 \cdot 9^{n - 1}

a_n=6*9^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

6, 54, 486, 4374, 39366, 354294, 3188646, 28697814, 258280326, 2324522934

6,54,486,4374,39366,354294,3188646,28697814,258280326,2324522934

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Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{54}{6} = 9$

$a_{3} a_{2} = \frac{486}{54} = 9$

$a_{4} a_{3} = \frac{4374}{486} = 9$

$a_{5} a_{4} = \frac{39366}{4374} = 9$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 9$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 6$ , a razão comum: $r = 9$ e o número de elementos $n = 5$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{5} = 6 * ((1 - 9^{5}) / (1 - 9))$

$s_{5} = 6 * ((1 - 59049) / (1 - 9))$

$s_{5} = 6 * (- 59048 / (1 - 9))$

$s_{5} = 6 * (- 59048 / - 8)$

$s_{5} = 6 \cdot 7381$

$s_{5} = 44286$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 6$ e a razão comum: $r = 9$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 6 \cdot 9^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 6$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6 \cdot 9^{2 - 1} = 6 \cdot 9^{1} = 6 \cdot 9 = 54$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6 \cdot 9^{3 - 1} = 6 \cdot 9^{2} = 6 \cdot 81 = 486$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6 \cdot 9^{4 - 1} = 6 \cdot 9^{3} = 6 \cdot 729 = 4374$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6 \cdot 9^{5 - 1} = 6 \cdot 9^{4} = 6 \cdot 6561 = 39366$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6 \cdot 9^{6 - 1} = 6 \cdot 9^{5} = 6 \cdot 59049 = 354294$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6 \cdot 9^{7 - 1} = 6 \cdot 9^{6} = 6 \cdot 531441 = 3188646$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6 \cdot 9^{8 - 1} = 6 \cdot 9^{7} = 6 \cdot 4782969 = 28697814$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6 \cdot 9^{9 - 1} = 6 \cdot 9^{8} = 6 \cdot 43046721 = 258280326$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6 \cdot 9^{10 - 1} = 6 \cdot 9^{9} = 6 \cdot 387420489 = 2324522934$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas