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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 7

r=7

A soma desta sequência é:

s = 16806

s=16806

A forma geral desta série é:

a_{n} = 6 \cdot 7^{n - 1}

a_n=6*7^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

6, 42, 294, 2058, 14406, 100842, 705894, 4941258, 34588806, 242121642

6,42,294,2058,14406,100842,705894,4941258,34588806,242121642

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{42}{6} = 7$

$a_{3} a_{2} = \frac{294}{42} = 7$

$a_{4} a_{3} = \frac{2058}{294} = 7$

$a_{5} a_{4} = \frac{14406}{2058} = 7$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 7$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 6$ , a razão comum: $r = 7$ e o número de elementos $n = 5$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{5} = 6 * ((1 - 7^{5}) / (1 - 7))$

$s_{5} = 6 * ((1 - 16807) / (1 - 7))$

$s_{5} = 6 * (- 16806 / (1 - 7))$

$s_{5} = 6 * (- 16806 / - 6)$

$s_{5} = 6 \cdot 2801$

$s_{5} = 16806$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 6$ e a razão comum: $r = 7$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 6 \cdot 7^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 6$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6 \cdot 7^{2 - 1} = 6 \cdot 7^{1} = 6 \cdot 7 = 42$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6 \cdot 7^{3 - 1} = 6 \cdot 7^{2} = 6 \cdot 49 = 294$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6 \cdot 7^{4 - 1} = 6 \cdot 7^{3} = 6 \cdot 343 = 2058$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6 \cdot 7^{5 - 1} = 6 \cdot 7^{4} = 6 \cdot 2401 = 14406$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6 \cdot 7^{6 - 1} = 6 \cdot 7^{5} = 6 \cdot 16807 = 100842$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6 \cdot 7^{7 - 1} = 6 \cdot 7^{6} = 6 \cdot 117649 = 705894$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6 \cdot 7^{8 - 1} = 6 \cdot 7^{7} = 6 \cdot 823543 = 4941258$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6 \cdot 7^{9 - 1} = 6 \cdot 7^{8} = 6 \cdot 5764801 = 34588806$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 6 \cdot 7^{10 - 1} = 6 \cdot 7^{9} = 6 \cdot 40353607 = 242121642$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas