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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 5

r=5

A soma desta sequência é:

s = 1643

s=1643

A forma geral desta série é:

a_{n} = 53 \cdot 5^{n - 1}

a_n=53*5^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

53, 265, 1325, 6625, 33125, 165625, 828125, 4140625, 20703125, 103515625

53,265,1325,6625,33125,165625,828125,4140625,20703125,103515625

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{265}{53} = 5$

$a_{3} a_{2} = \frac{1325}{265} = 5$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 5$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 53$ , a razão comum: $r = 5$ e o número de elementos $n = 3$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{3} = 53 * ((1 - 5^{3}) / (1 - 5))$

$s_{3} = 53 * ((1 - 125) / (1 - 5))$

$s_{3} = 53 * (- 124 / (1 - 5))$

$s_{3} = 53 * (- 124 / - 4)$

$s_{3} = 53 \cdot 31$

$s_{3} = 1643$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 53$ e a razão comum: $r = 5$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 53 \cdot 5^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 53$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot 5^{2 - 1} = 53 \cdot 5^{1} = 53 \cdot 5 = 265$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot 5^{3 - 1} = 53 \cdot 5^{2} = 53 \cdot 25 = 1325$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot 5^{4 - 1} = 53 \cdot 5^{3} = 53 \cdot 125 = 6625$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot 5^{5 - 1} = 53 \cdot 5^{4} = 53 \cdot 625 = 33125$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot 5^{6 - 1} = 53 \cdot 5^{5} = 53 \cdot 3125 = 165625$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot 5^{7 - 1} = 53 \cdot 5^{6} = 53 \cdot 15625 = 828125$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot 5^{8 - 1} = 53 \cdot 5^{7} = 53 \cdot 78125 = 4140625$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot 5^{9 - 1} = 53 \cdot 5^{8} = 53 \cdot 390625 = 20703125$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot 5^{10 - 1} = 53 \cdot 5^{9} = 53 \cdot 1953125 = 103515625$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas