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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 2

r=2

A soma desta sequência é:

s = 3584

s=3584

A forma geral desta série é:

a_{n} = 512 \cdot 2^{n - 1}

a_n=512*2^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144

512,1024,2048,4096,8192,16384,32768,65536,131072,262144

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{1024}{512} = 2$

$a_{3} a_{2} = \frac{2048}{1024} = 2$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 2$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 512$ , a razão comum: $r = 2$ e o número de elementos $n = 3$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{3} = 512 * ((1 - 2^{3}) / (1 - 2))$

$s_{3} = 512 * ((1 - 8) / (1 - 2))$

$s_{3} = 512 * (- 7 / (1 - 2))$

$s_{3} = 512 * (- 7 / - 1)$

$s_{3} = 512 \cdot 7$

$s_{3} = 3584$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 512$ e a razão comum: $r = 2$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 512 \cdot 2^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 512$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 512 \cdot 2^{2 - 1} = 512 \cdot 2^{1} = 512 \cdot 2 = 1024$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 512 \cdot 2^{3 - 1} = 512 \cdot 2^{2} = 512 \cdot 4 = 2048$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 512 \cdot 2^{4 - 1} = 512 \cdot 2^{3} = 512 \cdot 8 = 4096$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 512 \cdot 2^{5 - 1} = 512 \cdot 2^{4} = 512 \cdot 16 = 8192$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 512 \cdot 2^{6 - 1} = 512 \cdot 2^{5} = 512 \cdot 32 = 16384$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 512 \cdot 2^{7 - 1} = 512 \cdot 2^{6} = 512 \cdot 64 = 32768$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 512 \cdot 2^{8 - 1} = 512 \cdot 2^{7} = 512 \cdot 128 = 65536$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 512 \cdot 2^{9 - 1} = 512 \cdot 2^{8} = 512 \cdot 256 = 131072$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 512 \cdot 2^{10 - 1} = 512 \cdot 2^{9} = 512 \cdot 512 = 262144$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas