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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 0, 2

r=0,2

A soma desta sequência é:

s = 6248

s=6248

A forma geral desta série é:

a_{n} = 5000 \cdot 0, 2^{n - 1}

a_n=5000*0,2^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

5000, 1000, 200, 00000000000003, 40, 00000000000001, 8, 000000000000002, 1, 6000000000000003, 0, 3200000000000001, 0, 06400000000000003, 0, 012800000000000006, 0, 002560000000000001

5000,1000,200,00000000000003,40,00000000000001,8,000000000000002,1,6000000000000003,0,3200000000000001,0,06400000000000003,0,012800000000000006,0,002560000000000001

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{1000}{5000} = 0, 2$

$a_{3} a_{2} = \frac{200}{1000} = 0, 2$

$a_{4} a_{3} = \frac{40}{200} = 0, 2$

$a_{5} a_{4} = \frac{8}{40} = 0, 2$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 0, 2$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 5.000$ , a razão comum: $r = 0, 2$ e o número de elementos $n = 5$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{5} = 5000 * ((1 - 0, 2^{5}) / (1 - 0, 2))$

$s_{5} = 5000 * ((1 - 0, 0003200000000000001) / (1 - 0, 2))$

$s_{5} = 5000 * (0, 99968 / (1 - 0, 2))$

$s_{5} = 5000 * (0, 99968 / 0, 8)$

$s_{5} = 5000 \cdot 1, 2496$

$s_{5} = 6248$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 5.000$ e a razão comum: $r = 0, 2$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 5000 \cdot 0, 2^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 5000$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5000 \cdot 0, 2^{2 - 1} = 5000 \cdot 0, 2^{1} = 5000 \cdot 0, 2 = 1000$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5000 \cdot 0, 2^{3 - 1} = 5000 \cdot 0, 2^{2} = 5000 \cdot 0, 04000000000000001 = 200, 00000000000003$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5000 \cdot 0, 2^{4 - 1} = 5000 \cdot 0, 2^{3} = 5000 \cdot 0, 008000000000000002 = 40, 00000000000001$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5000 \cdot 0, 2^{5 - 1} = 5000 \cdot 0, 2^{4} = 5000 \cdot 0, 0016000000000000003 = 8, 000000000000002$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5000 \cdot 0, 2^{6 - 1} = 5000 \cdot 0, 2^{5} = 5000 \cdot 0, 0003200000000000001 = 1, 6000000000000003$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5000 \cdot 0, 2^{7 - 1} = 5000 \cdot 0, 2^{6} = 5000 \cdot 6, 400000000000002 E - 05 = 0, 3200000000000001$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5000 \cdot 0, 2^{8 - 1} = 5000 \cdot 0, 2^{7} = 5000 \cdot 1, 2800000000000005 E - 05 = 0, 06400000000000003$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5000 \cdot 0, 2^{9 - 1} = 5000 \cdot 0, 2^{8} = 5000 \cdot 2, 5600000000000013 E - 06 = 0, 012800000000000006$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5000 \cdot 0, 2^{10 - 1} = 5000 \cdot 0, 2^{9} = 5000 \cdot 5, 120000000000002 E - 07 = 0, 002560000000000001$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas