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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 0, 4

r=0,4

A soma desta sequência é:

s = 812

s=812

A forma geral desta série é:

a_{n} = 500 \cdot 0, 4^{n - 1}

a_n=500*0,4^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

500, 200, 80, 00000000000001, 32, 00000000000001, 12, 800000000000002, 5, 120000000000001, 2, 048000000000001, 0, 8192000000000003, 0, 3276800000000002, 0, 13107200000000005

500,200,80,00000000000001,32,00000000000001,12,800000000000002,5,120000000000001,2,048000000000001,0,8192000000000003,0,3276800000000002,0,13107200000000005

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{200}{500} = 0, 4$

$a_{3} a_{2} = \frac{80}{200} = 0, 4$

$a_{4} a_{3} = \frac{32}{80} = 0, 4$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 0, 4$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 500$ , a razão comum: $r = 0, 4$ e o número de elementos $n = 4$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{4} = 500 * ((1 - 0, 4^{4}) / (1 - 0, 4))$

$s_{4} = 500 * ((1 - 0, 025600000000000005) / (1 - 0, 4))$

$s_{4} = 500 * (0, 9744 / (1 - 0, 4))$

$s_{4} = 500 * (0, 9744 / 0, 6)$

$s_{4} = 500 \cdot 1.624$

$s_{4} = 812$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 500$ e a razão comum: $r = 0, 4$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 500 \cdot 0, 4^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 500$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot 0, 4^{2 - 1} = 500 \cdot 0, 4^{1} = 500 \cdot 0, 4 = 200$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot 0, 4^{3 - 1} = 500 \cdot 0, 4^{2} = 500 \cdot 0, 16000000000000003 = 80, 00000000000001$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot 0, 4^{4 - 1} = 500 \cdot 0, 4^{3} = 500 \cdot 0, 06400000000000002 = 32, 00000000000001$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot 0, 4^{5 - 1} = 500 \cdot 0, 4^{4} = 500 \cdot 0, 025600000000000005 = 12, 800000000000002$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot 0, 4^{6 - 1} = 500 \cdot 0, 4^{5} = 500 \cdot 0, 010240000000000003 = 5, 120000000000001$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot 0, 4^{7 - 1} = 500 \cdot 0, 4^{6} = 500 \cdot 0, 0040960000000000015 = 2, 048000000000001$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot 0, 4^{8 - 1} = 500 \cdot 0, 4^{7} = 500 \cdot 0, 0016384000000000006 = 0, 8192000000000003$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot 0, 4^{9 - 1} = 500 \cdot 0, 4^{8} = 500 \cdot 0, 0006553600000000003 = 0, 3276800000000002$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot 0, 4^{10 - 1} = 500 \cdot 0, 4^{9} = 500 \cdot 0, 0002621440000000001 = 0, 13107200000000005$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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