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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 3

r=3

A soma desta sequência é:

s = 20000

s=20000

A forma geral desta série é:

a_{n} = 500 \cdot 3^{n - 1}

a_n=500*3^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

500, 1500, 4500, 13500, 40500, 121500, 364500, 1093500, 3280500, 9841500

500,1500,4500,13500,40500,121500,364500,1093500,3280500,9841500

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{1500}{500} = 3$

$a_{3} a_{2} = \frac{4500}{1500} = 3$

$a_{4} a_{3} = \frac{13500}{4500} = 3$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 3$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 500$ , a razão comum: $r = 3$ e o número de elementos $n = 4$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{4} = 500 * ((1 - 3^{4}) / (1 - 3))$

$s_{4} = 500 * ((1 - 81) / (1 - 3))$

$s_{4} = 500 * (- 80 / (1 - 3))$

$s_{4} = 500 * (- 80 / - 2)$

$s_{4} = 500 \cdot 40$

$s_{4} = 20000$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 500$ e a razão comum: $r = 3$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 500 \cdot 3^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 500$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot 3^{2 - 1} = 500 \cdot 3^{1} = 500 \cdot 3 = 1500$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot 3^{3 - 1} = 500 \cdot 3^{2} = 500 \cdot 9 = 4500$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot 3^{4 - 1} = 500 \cdot 3^{3} = 500 \cdot 27 = 13500$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot 3^{5 - 1} = 500 \cdot 3^{4} = 500 \cdot 81 = 40500$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot 3^{6 - 1} = 500 \cdot 3^{5} = 500 \cdot 243 = 121500$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot 3^{7 - 1} = 500 \cdot 3^{6} = 500 \cdot 729 = 364500$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot 3^{8 - 1} = 500 \cdot 3^{7} = 500 \cdot 2187 = 1093500$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot 3^{9 - 1} = 500 \cdot 3^{8} = 500 \cdot 6561 = 3280500$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot 3^{10 - 1} = 500 \cdot 3^{9} = 500 \cdot 19683 = 9841500$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas