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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 20

r=20

A soma desta sequência é:

s = 42105

s=42105

A forma geral desta série é:

a_{n} = 5 \cdot 20^{n - 1}

a_n=5*20^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

5, 100, 2000, 40000, 800000, 16000000, 320000000, 6400000000, 128000000000, 2560000000000

5,100,2000,40000,800000,16000000,320000000,6400000000,128000000000,2560000000000

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{100}{5} = 20$

$a_{3} a_{2} = \frac{2000}{100} = 20$

$a_{4} a_{3} = \frac{40000}{2000} = 20$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 20$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 5$ , a razão comum: $r = 20$ e o número de elementos $n = 4$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{4} = 5 * ((1 - 20^{4}) / (1 - 20))$

$s_{4} = 5 * ((1 - 160000) / (1 - 20))$

$s_{4} = 5 * (- 159999 / (1 - 20))$

$s_{4} = 5 * (- 159999 / - 19)$

$s_{4} = 5 \cdot 8421$

$s_{4} = 42105$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 5$ e a razão comum: $r = 20$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 5 \cdot 20^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 5$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 20^{2 - 1} = 5 \cdot 20^{1} = 5 \cdot 20 = 100$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 20^{3 - 1} = 5 \cdot 20^{2} = 5 \cdot 400 = 2000$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 20^{4 - 1} = 5 \cdot 20^{3} = 5 \cdot 8000 = 40000$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 20^{5 - 1} = 5 \cdot 20^{4} = 5 \cdot 160000 = 800000$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 20^{6 - 1} = 5 \cdot 20^{5} = 5 \cdot 3200000 = 16000000$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 20^{7 - 1} = 5 \cdot 20^{6} = 5 \cdot 64000000 = 320000000$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 20^{8 - 1} = 5 \cdot 20^{7} = 5 \cdot 1280000000 = 6400000000$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 20^{9 - 1} = 5 \cdot 20^{8} = 5 \cdot 25600000000 = 128000000000$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 20^{10 - 1} = 5 \cdot 20^{9} = 5 \cdot 512000000000 = 2560000000000$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas