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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 2

r=2

A soma desta sequência é:

s = 46080

s=46080

A forma geral desta série é:

a_{n} = 3072 \cdot 2^{n - 1}

a_n=3072*2^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

3072, 6144, 12288, 24576, 49152, 98304, 196608, 393216, 786432, 1572864

3072,6144,12288,24576,49152,98304,196608,393216,786432,1572864

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{6144}{3072} = 2$

$a_{3} a_{2} = \frac{12288}{6144} = 2$

$a_{4} a_{3} = \frac{24576}{12288} = 2$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 2$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 3.072$ , a razão comum: $r = 2$ e o número de elementos $n = 4$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{4} = 3072 * ((1 - 2^{4}) / (1 - 2))$

$s_{4} = 3072 * ((1 - 16) / (1 - 2))$

$s_{4} = 3072 * (- 15 / (1 - 2))$

$s_{4} = 3072 * (- 15 / - 1)$

$s_{4} = 3072 \cdot 15$

$s_{4} = 46080$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 3.072$ e a razão comum: $r = 2$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 3072 \cdot 2^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 3072$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3072 \cdot 2^{2 - 1} = 3072 \cdot 2^{1} = 3072 \cdot 2 = 6144$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3072 \cdot 2^{3 - 1} = 3072 \cdot 2^{2} = 3072 \cdot 4 = 12288$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3072 \cdot 2^{4 - 1} = 3072 \cdot 2^{3} = 3072 \cdot 8 = 24576$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3072 \cdot 2^{5 - 1} = 3072 \cdot 2^{4} = 3072 \cdot 16 = 49152$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3072 \cdot 2^{6 - 1} = 3072 \cdot 2^{5} = 3072 \cdot 32 = 98304$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3072 \cdot 2^{7 - 1} = 3072 \cdot 2^{6} = 3072 \cdot 64 = 196608$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3072 \cdot 2^{8 - 1} = 3072 \cdot 2^{7} = 3072 \cdot 128 = 393216$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3072 \cdot 2^{9 - 1} = 3072 \cdot 2^{8} = 3072 \cdot 256 = 786432$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3072 \cdot 2^{10 - 1} = 3072 \cdot 2^{9} = 3072 \cdot 512 = 1572864$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas