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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 11

r=11

A soma desta sequência é:

s = 48315

s=48315

A forma geral desta série é:

a_{n} = 3 \cdot 11^{n - 1}

a_n=3*11^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

3, 33, 363, 3993, 43923, 483153, 5314683, 58461513, 643076643, 7073843073

3,33,363,3993,43923,483153,5314683,58461513,643076643,7073843073

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{33}{3} = 11$

$a_{3} a_{2} = \frac{363}{33} = 11$

$a_{4} a_{3} = \frac{3993}{363} = 11$

$a_{5} a_{4} = \frac{43923}{3993} = 11$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 11$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 3$ , a razão comum: $r = 11$ e o número de elementos $n = 5$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{5} = 3 * ((1 - 11^{5}) / (1 - 11))$

$s_{5} = 3 * ((1 - 161051) / (1 - 11))$

$s_{5} = 3 * (- 161050 / (1 - 11))$

$s_{5} = 3 * (- 161050 / - 10)$

$s_{5} = 3 \cdot 16105$

$s_{5} = 48315$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 3$ e a razão comum: $r = 11$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 3 \cdot 11^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 3$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 11^{2 - 1} = 3 \cdot 11^{1} = 3 \cdot 11 = 33$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 11^{3 - 1} = 3 \cdot 11^{2} = 3 \cdot 121 = 363$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 11^{4 - 1} = 3 \cdot 11^{3} = 3 \cdot 1331 = 3993$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 11^{5 - 1} = 3 \cdot 11^{4} = 3 \cdot 14641 = 43923$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 11^{6 - 1} = 3 \cdot 11^{5} = 3 \cdot 161051 = 483153$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 11^{7 - 1} = 3 \cdot 11^{6} = 3 \cdot 1771561 = 5314683$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 11^{8 - 1} = 3 \cdot 11^{7} = 3 \cdot 19487171 = 58461513$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 11^{9 - 1} = 3 \cdot 11^{8} = 3 \cdot 214358881 = 643076643$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 11^{10 - 1} = 3 \cdot 11^{9} = 3 \cdot 2357947691 = 7073843073$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas