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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 8

r=8

A soma desta sequência é:

s = 219

s=219

A forma geral desta série é:

a_{n} = 3 \cdot 8^{n - 1}

a_n=3*8^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

3, 24, 192, 1536, 12288, 98304, 786432, 6291456, 50331648, 402653184

3,24,192,1536,12288,98304,786432,6291456,50331648,402653184

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{24}{3} = 8$

$a_{3} a_{2} = \frac{192}{24} = 8$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 8$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 3$ , a razão comum: $r = 8$ e o número de elementos $n = 3$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{3} = 3 * ((1 - 8^{3}) / (1 - 8))$

$s_{3} = 3 * ((1 - 512) / (1 - 8))$

$s_{3} = 3 * (- 511 / (1 - 8))$

$s_{3} = 3 * (- 511 / - 7)$

$s_{3} = 3 \cdot 73$

$s_{3} = 219$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 3$ e a razão comum: $r = 8$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 3 \cdot 8^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 3$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 8^{2 - 1} = 3 \cdot 8^{1} = 3 \cdot 8 = 24$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 8^{3 - 1} = 3 \cdot 8^{2} = 3 \cdot 64 = 192$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 8^{4 - 1} = 3 \cdot 8^{3} = 3 \cdot 512 = 1536$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 8^{5 - 1} = 3 \cdot 8^{4} = 3 \cdot 4096 = 12288$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 8^{6 - 1} = 3 \cdot 8^{5} = 3 \cdot 32768 = 98304$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 8^{7 - 1} = 3 \cdot 8^{6} = 3 \cdot 262144 = 786432$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 8^{8 - 1} = 3 \cdot 8^{7} = 3 \cdot 2097152 = 6291456$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 8^{9 - 1} = 3 \cdot 8^{8} = 3 \cdot 16777216 = 50331648$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 8^{10 - 1} = 3 \cdot 8^{9} = 3 \cdot 134217728 = 402653184$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas