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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = - 4

r=-4

A soma desta sequência é:

s = 39

s=39

A forma geral desta série é:

a_{n} = 3 \cdot - 4^{n - 1}

a_n=3*-4^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

3, - 12, 48, - 192, 768, - 3072, 12288, - 49152, 196608, - 786432

3,-12,48,-192,768,-3072,12288,-49152,196608,-786432

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = - \frac{12}{3} = - 4$

$a_{3} a_{2} = \frac{48}{-} 12 = - 4$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = - 4$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 3$ , a razão comum: $r = - 4$ e o número de elementos $n = 3$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{3} = 3 * ((1 - - 4^{3}) / (1 - - 4))$

$s_{3} = 3 * ((1 - - 64) / (1 - - 4))$

$s_{3} = 3 * (65 / (1 - - 4))$

$s_{3} = 3 * (65 / 5)$

$s_{3} = 3 \cdot 13$

$s_{3} = 39$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 3$ e a razão comum: $r = - 4$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 3 \cdot - 4^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 3$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot - 4^{2 - 1} = 3 \cdot - 4^{1} = 3 \cdot - 4 = - 12$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot - 4^{3 - 1} = 3 \cdot - 4^{2} = 3 \cdot 16 = 48$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot - 4^{4 - 1} = 3 \cdot - 4^{3} = 3 \cdot - 64 = - 192$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot - 4^{5 - 1} = 3 \cdot - 4^{4} = 3 \cdot 256 = 768$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot - 4^{6 - 1} = 3 \cdot - 4^{5} = 3 \cdot - 1024 = - 3072$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot - 4^{7 - 1} = 3 \cdot - 4^{6} = 3 \cdot 4096 = 12288$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot - 4^{8 - 1} = 3 \cdot - 4^{7} = 3 \cdot - 16384 = - 49152$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot - 4^{9 - 1} = 3 \cdot - 4^{8} = 3 \cdot 65536 = 196608$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot - 4^{10 - 1} = 3 \cdot - 4^{9} = 3 \cdot - 262144 = - 786432$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas