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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 4

r=4

A soma desta sequência é:

s = 8525

s=8525

A forma geral desta série é:

a_{n} = 25 \cdot 4^{n - 1}

a_n=25*4^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

25, 100, 400, 1600, 6400, 25600, 102400, 409600, 1638400, 6553600

25,100,400,1600,6400,25600,102400,409600,1638400,6553600

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{100}{25} = 4$

$a_{3} a_{2} = \frac{400}{100} = 4$

$a_{4} a_{3} = \frac{1600}{400} = 4$

$a_{5} a_{4} = \frac{6400}{1600} = 4$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 4$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 25$ , a razão comum: $r = 4$ e o número de elementos $n = 5$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{5} = 25 * ((1 - 4^{5}) / (1 - 4))$

$s_{5} = 25 * ((1 - 1024) / (1 - 4))$

$s_{5} = 25 * (- 1023 / (1 - 4))$

$s_{5} = 25 * (- 1023 / - 3)$

$s_{5} = 25 \cdot 341$

$s_{5} = 8525$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 25$ e a razão comum: $r = 4$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 25 \cdot 4^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 25$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 25 \cdot 4^{2 - 1} = 25 \cdot 4^{1} = 25 \cdot 4 = 100$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 25 \cdot 4^{3 - 1} = 25 \cdot 4^{2} = 25 \cdot 16 = 400$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 25 \cdot 4^{4 - 1} = 25 \cdot 4^{3} = 25 \cdot 64 = 1600$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 25 \cdot 4^{5 - 1} = 25 \cdot 4^{4} = 25 \cdot 256 = 6400$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 25 \cdot 4^{6 - 1} = 25 \cdot 4^{5} = 25 \cdot 1024 = 25600$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 25 \cdot 4^{7 - 1} = 25 \cdot 4^{6} = 25 \cdot 4096 = 102400$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 25 \cdot 4^{8 - 1} = 25 \cdot 4^{7} = 25 \cdot 16384 = 409600$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 25 \cdot 4^{9 - 1} = 25 \cdot 4^{8} = 25 \cdot 65536 = 1638400$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 25 \cdot 4^{10 - 1} = 25 \cdot 4^{9} = 25 \cdot 262144 = 6553600$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas