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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 3

r=3

A soma desta sequência é:

s = 760

s=760

A forma geral desta série é:

a_{n} = 19 \cdot 3^{n - 1}

a_n=19*3^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

19, 57, 171, 513, 1539, 4617, 13851, 41553, 124659, 373977

19,57,171,513,1539,4617,13851,41553,124659,373977

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{57}{19} = 3$

$a_{3} a_{2} = \frac{171}{57} = 3$

$a_{4} a_{3} = \frac{513}{171} = 3$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 3$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 19$ , a razão comum: $r = 3$ e o número de elementos $n = 4$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{4} = 19 * ((1 - 3^{4}) / (1 - 3))$

$s_{4} = 19 * ((1 - 81) / (1 - 3))$

$s_{4} = 19 * (- 80 / (1 - 3))$

$s_{4} = 19 * (- 80 / - 2)$

$s_{4} = 19 \cdot 40$

$s_{4} = 760$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 19$ e a razão comum: $r = 3$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 19 \cdot 3^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 19$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot 3^{2 - 1} = 19 \cdot 3^{1} = 19 \cdot 3 = 57$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot 3^{3 - 1} = 19 \cdot 3^{2} = 19 \cdot 9 = 171$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot 3^{4 - 1} = 19 \cdot 3^{3} = 19 \cdot 27 = 513$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot 3^{5 - 1} = 19 \cdot 3^{4} = 19 \cdot 81 = 1539$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot 3^{6 - 1} = 19 \cdot 3^{5} = 19 \cdot 243 = 4617$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot 3^{7 - 1} = 19 \cdot 3^{6} = 19 \cdot 729 = 13851$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot 3^{8 - 1} = 19 \cdot 3^{7} = 19 \cdot 2187 = 41553$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot 3^{9 - 1} = 19 \cdot 3^{8} = 19 \cdot 6561 = 124659$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot 3^{10 - 1} = 19 \cdot 3^{9} = 19 \cdot 19683 = 373977$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas