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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 15

r=15

A soma desta sequência é:

s = 54240

s=54240

A forma geral desta série é:

a_{n} = 15 \cdot 15^{n - 1}

a_n=15*15^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

15, 225, 3375, 50625, 759375, 11390625, 170859375, 2562890625, 38443359375, 576650390625

15,225,3375,50625,759375,11390625,170859375,2562890625,38443359375,576650390625

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{225}{15} = 15$

$a_{3} a_{2} = \frac{3375}{225} = 15$

$a_{4} a_{3} = \frac{50625}{3375} = 15$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 15$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 15$ , a razão comum: $r = 15$ e o número de elementos $n = 4$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{4} = 15 * ((1 - 15^{4}) / (1 - 15))$

$s_{4} = 15 * ((1 - 50625) / (1 - 15))$

$s_{4} = 15 * (- 50624 / (1 - 15))$

$s_{4} = 15 * (- 50624 / - 14)$

$s_{4} = 15 \cdot 3616$

$s_{4} = 54240$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 15$ e a razão comum: $r = 15$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 15 \cdot 15^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 15$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 15^{2 - 1} = 15 \cdot 15^{1} = 15 \cdot 15 = 225$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 15^{3 - 1} = 15 \cdot 15^{2} = 15 \cdot 225 = 3375$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 15^{4 - 1} = 15 \cdot 15^{3} = 15 \cdot 3375 = 50625$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 15^{5 - 1} = 15 \cdot 15^{4} = 15 \cdot 50625 = 759375$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 15^{6 - 1} = 15 \cdot 15^{5} = 15 \cdot 759375 = 11390625$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 15^{7 - 1} = 15 \cdot 15^{6} = 15 \cdot 11390625 = 170859375$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 15^{8 - 1} = 15 \cdot 15^{7} = 15 \cdot 170859375 = 2562890625$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 15^{9 - 1} = 15 \cdot 15^{8} = 15 \cdot 2562890625 = 38443359375$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 15^{10 - 1} = 15 \cdot 15^{9} = 15 \cdot 38443359375 = 576650390625$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas