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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 9

r=9

A soma desta sequência é:

s = 73810

s=73810

A forma geral desta série é:

a_{n} = 10 \cdot 9^{n - 1}

a_n=10*9^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

10, 90, 810, 7290, 65610, 590490, 5314410, 47829690, 430467210, 3874204890

10,90,810,7290,65610,590490,5314410,47829690,430467210,3874204890

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{90}{10} = 9$

$a_{3} a_{2} = \frac{810}{90} = 9$

$a_{4} a_{3} = \frac{7290}{810} = 9$

$a_{5} a_{4} = \frac{65610}{7290} = 9$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 9$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 10$ , a razão comum: $r = 9$ e o número de elementos $n = 5$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{5} = 10 * ((1 - 9^{5}) / (1 - 9))$

$s_{5} = 10 * ((1 - 59049) / (1 - 9))$

$s_{5} = 10 * (- 59048 / (1 - 9))$

$s_{5} = 10 * (- 59048 / - 8)$

$s_{5} = 10 \cdot 7381$

$s_{5} = 73810$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 10$ e a razão comum: $r = 9$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 10 \cdot 9^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 10$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10 \cdot 9^{2 - 1} = 10 \cdot 9^{1} = 10 \cdot 9 = 90$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10 \cdot 9^{3 - 1} = 10 \cdot 9^{2} = 10 \cdot 81 = 810$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10 \cdot 9^{4 - 1} = 10 \cdot 9^{3} = 10 \cdot 729 = 7290$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10 \cdot 9^{5 - 1} = 10 \cdot 9^{4} = 10 \cdot 6561 = 65610$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10 \cdot 9^{6 - 1} = 10 \cdot 9^{5} = 10 \cdot 59049 = 590490$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10 \cdot 9^{7 - 1} = 10 \cdot 9^{6} = 10 \cdot 531441 = 5314410$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10 \cdot 9^{8 - 1} = 10 \cdot 9^{7} = 10 \cdot 4782969 = 47829690$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10 \cdot 9^{9 - 1} = 10 \cdot 9^{8} = 10 \cdot 43046721 = 430467210$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10 \cdot 9^{10 - 1} = 10 \cdot 9^{9} = 10 \cdot 387420489 = 3874204890$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas