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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = - 3

r=-3

A soma desta sequência é:

s = 70

s=70

A forma geral desta série é:

a_{n} = 10 \cdot - 3^{n - 1}

a_n=10*-3^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

10, - 30, 90, - 270, 810, - 2430, 7290, - 21870, 65610, - 196830

10,-30,90,-270,810,-2430,7290,-21870,65610,-196830

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = - \frac{30}{10} = - 3$

$a_{3} a_{2} = \frac{90}{-} 30 = - 3$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = - 3$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 10$ , a razão comum: $r = - 3$ e o número de elementos $n = 3$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{3} = 10 * ((1 - - 3^{3}) / (1 - - 3))$

$s_{3} = 10 * ((1 - - 27) / (1 - - 3))$

$s_{3} = 10 * (28 / (1 - - 3))$

$s_{3} = 10 * (28 / 4)$

$s_{3} = 10 \cdot 7$

$s_{3} = 70$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 10$ e a razão comum: $r = - 3$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 10 \cdot - 3^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 10$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10 \cdot - 3^{2 - 1} = 10 \cdot - 3^{1} = 10 \cdot - 3 = - 30$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10 \cdot - 3^{3 - 1} = 10 \cdot - 3^{2} = 10 \cdot 9 = 90$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10 \cdot - 3^{4 - 1} = 10 \cdot - 3^{3} = 10 \cdot - 27 = - 270$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10 \cdot - 3^{5 - 1} = 10 \cdot - 3^{4} = 10 \cdot 81 = 810$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10 \cdot - 3^{6 - 1} = 10 \cdot - 3^{5} = 10 \cdot - 243 = - 2430$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10 \cdot - 3^{7 - 1} = 10 \cdot - 3^{6} = 10 \cdot 729 = 7290$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10 \cdot - 3^{8 - 1} = 10 \cdot - 3^{7} = 10 \cdot - 2187 = - 21870$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10 \cdot - 3^{9 - 1} = 10 \cdot - 3^{8} = 10 \cdot 6561 = 65610$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10 \cdot - 3^{10 - 1} = 10 \cdot - 3^{9} = 10 \cdot - 19683 = - 196830$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas