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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = - 2

r=-2

A soma desta sequência é:

s = - 15

s=-15

A forma geral desta série é:

a_{n} = - 5 \cdot - 2^{n - 1}

a_n=-5*-2^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

- 5, 10, - 20, 40, - 80, 160, - 320, 640, - 1280, 2560

-5,10,-20,40,-80,160,-320,640,-1280,2560

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Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{10}{-} 5 = - 2$

$a_{3} a_{2} = - \frac{20}{10} = - 2$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = - 2$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = - 5$ , a razão comum: $r = - 2$ e o número de elementos $n = 3$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{3} = - 5 * ((1 - - 2^{3}) / (1 - - 2))$

$s_{3} = - 5 * ((1 - - 8) / (1 - - 2))$

$s_{3} = - 5 * (9 / (1 - - 2))$

$s_{3} = - 5 * (9 / 3)$

$s_{3} = - 5 \cdot 3$

$s_{3} = - 15$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = - 5$ e a razão comum: $r = - 2$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = - 5 \cdot - 2^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = - 5$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = - 5 \cdot - 2^{2 - 1} = - 5 \cdot - 2^{1} = - 5 \cdot - 2 = 10$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = - 5 \cdot - 2^{3 - 1} = - 5 \cdot - 2^{2} = - 5 \cdot 4 = - 20$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = - 5 \cdot - 2^{4 - 1} = - 5 \cdot - 2^{3} = - 5 \cdot - 8 = 40$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = - 5 \cdot - 2^{5 - 1} = - 5 \cdot - 2^{4} = - 5 \cdot 16 = - 80$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = - 5 \cdot - 2^{6 - 1} = - 5 \cdot - 2^{5} = - 5 \cdot - 32 = 160$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = - 5 \cdot - 2^{7 - 1} = - 5 \cdot - 2^{6} = - 5 \cdot 64 = - 320$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = - 5 \cdot - 2^{8 - 1} = - 5 \cdot - 2^{7} = - 5 \cdot - 128 = 640$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = - 5 \cdot - 2^{9 - 1} = - 5 \cdot - 2^{8} = - 5 \cdot 256 = - 1280$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = - 5 \cdot - 2^{10 - 1} = - 5 \cdot - 2^{9} = - 5 \cdot - 512 = 2560$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas