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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 0, 7777777777777778

r=0,7777777777777778

A soma desta sequência é:

s = 160

s=160

A forma geral desta série é:

a_{n} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{n - 1}

a_n=90*0,7777777777777778^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

90, 70, 54, 44444444444444, 42, 345679012345684, 32, 93552812071331, 25, 616521871665906, 19, 923961455740148, 15, 496414465575674, 12, 052766806558855, 9, 37437418287911

90,70,54,44444444444444,42,345679012345684,32,93552812071331,25,616521871665906,19,923961455740148,15,496414465575674,12,052766806558855,9,37437418287911

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{70}{90} = 0, 7777777777777778$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 0, 7777777777777778$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 90$ , a razão comum: $r = 0, 7777777777777778$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 90 * ((1 - 0, 7777777777777778^{2}) / (1 - 0, 7777777777777778))$

$s_{2} = 90 * ((1 - 0, 6049382716049383) / (1 - 0, 7777777777777778))$

$s_{2} = 90 * (0, 3950617283950617 / (1 - 0, 7777777777777778))$

$s_{2} = 90 * (0, 3950617283950617 / 0, 2222222222222222)$

$s_{2} = 90 \cdot 1, 7777777777777777$

$s_{2} = 160$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 90$ e a razão comum: $r = 0, 7777777777777778$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 90$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{2 - 1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778 = 70$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{3 - 1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{2} = 90 \cdot 0, 6049382716049383 = 54, 44444444444444$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{4 - 1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{3} = 90 \cdot 0, 4705075445816187 = 42, 345679012345684$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{5 - 1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{4} = 90 \cdot 0, 3659503124523701 = 32, 93552812071331$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{6 - 1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{5} = 90 \cdot 0, 28462802079628785 = 25, 616521871665906$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{7 - 1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{6} = 90 \cdot 0, 22137734950822388 = 19, 923961455740148$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{8 - 1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{7} = 90 \cdot 0, 17218238295084082 = 15, 496414465575674$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{9 - 1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{8} = 90 \cdot 0, 13391963118398728 = 12, 052766806558855$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{10 - 1} = 90 \cdot 0, 7777777777777778^{9} = 90 \cdot 0, 10415971314310123 = 9, 37437418287911$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas