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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 0, 8266666666666667

r=0,8266666666666667

A soma desta sequência é:

s = 137

s=137

A forma geral desta série é:

a_{n} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{n - 1}

a_n=75*0,8266666666666667^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

75, 62, 51, 25333333333333, 42, 36942222222223, 35, 02538903703704, 28, 954321603950618, 23, 935572525932507, 19, 786739954770873, 16, 357038362610588, 13, 521818379758088

75,62,51,25333333333333,42,36942222222223,35,02538903703704,28,954321603950618,23,935572525932507,19,786739954770873,16,357038362610588,13,521818379758088

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{62}{75} = 0, 8266666666666667$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 0, 8266666666666667$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 75$ , a razão comum: $r = 0, 8266666666666667$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 75 * ((1 - 0, 8266666666666667^{2}) / (1 - 0, 8266666666666667))$

$s_{2} = 75 * ((1 - 0, 6833777777777778) / (1 - 0, 8266666666666667))$

$s_{2} = 75 * (0, 31662222222222225 / (1 - 0, 8266666666666667))$

$s_{2} = 75 * (0, 31662222222222225 / 0, 17333333333333334)$

$s_{2} = 75 \cdot 1, 8266666666666667$

$s_{2} = 137$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 75$ e a razão comum: $r = 0, 8266666666666667$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 75$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{2 - 1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667 = 62$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{3 - 1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{2} = 75 \cdot 0, 6833777777777778 = 51, 25333333333333$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{4 - 1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{3} = 75 \cdot 0, 5649256296296297 = 42, 36942222222223$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{5 - 1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{4} = 75 \cdot 0, 46700518716049383 = 35, 02538903703704$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{6 - 1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{5} = 75 \cdot 0, 38605762138600824 = 28, 954321603950618$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{7 - 1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{6} = 75 \cdot 0, 31914096701243344 = 23, 935572525932507$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{8 - 1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{7} = 75 \cdot 0, 263823199396945 = 19, 786739954770873$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{9 - 1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{8} = 75 \cdot 0, 21809384483480784 = 16, 357038362610588$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{10 - 1} = 75 \cdot 0, 8266666666666667^{9} = 75 \cdot 0, 18029091173010783 = 13, 521818379758088$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas