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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 2, 3333333333333335

r=2,3333333333333335

A soma desta sequência é:

s = 250

s=250

A forma geral desta série é:

a_{n} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{n - 1}

a_n=75*2,3333333333333335^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

75, 175, 408, 3333333333334, 952, 7777777777779, 2223, 1481481481487, 5187, 345679012347, 12103, 806584362144, 28242, 215363511674, 65898, 50251486056, 153763, 17253467467

75,175,408,3333333333334,952,7777777777779,2223,1481481481487,5187,345679012347,12103,806584362144,28242,215363511674,65898,50251486056,153763,17253467467

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{175}{75} = 2, 3333333333333335$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 2, 3333333333333335$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 75$ , a razão comum: $r = 2, 3333333333333335$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 75 * ((1 - 2, 3333333333333335^{2}) / (1 - 2, 3333333333333335))$

$s_{2} = 75 * ((1 - 5, 4444444444444455) / (1 - 2, 3333333333333335))$

$s_{2} = 75 * (- 4, 4444444444444455 / (1 - 2, 3333333333333335))$

$s_{2} = 75 * (- 4, 4444444444444455 / - 1, 3333333333333335)$

$s_{2} = 75 \cdot 3, 333333333333334$

$s_{2} = 250, 00000000000006$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 75$ e a razão comum: $r = 2, 3333333333333335$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 75$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{2 - 1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335 = 175$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{3 - 1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{2} = 75 \cdot 5, 4444444444444455 = 408, 3333333333334$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{4 - 1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{3} = 75 \cdot 12, 703703703703706 = 952, 7777777777779$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{5 - 1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{4} = 75 \cdot 29, 64197530864198 = 2223, 1481481481487$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{6 - 1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{5} = 75 \cdot 69, 16460905349797 = 5187, 345679012347$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{7 - 1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{6} = 75 \cdot 161, 38408779149526 = 12103, 806584362144$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{8 - 1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{7} = 75 \cdot 376, 562871513489 = 28242, 215363511674$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{9 - 1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{8} = 75 \cdot 878, 6467001981409 = 65898, 50251486056$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{10 - 1} = 75 \cdot 2, 3333333333333335^{9} = 75 \cdot 2050, 175633795662 = 153763, 17253467467$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas