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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 1, 2857142857142858

r=1,2857142857142858

A soma desta sequência é:

s = 160

s=160

A forma geral desta série é:

a_{n} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{n - 1}

a_n=70*1,2857142857142858^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

70, 90, 115, 71428571428574, 148, 77551020408168, 191, 2827988338193, 245, 9350270720534, 316, 2021776640687, 406, 5456569966598, 522, 7015589957055, 672, 0448615659071

70,90,115,71428571428574,148,77551020408168,191,2827988338193,245,9350270720534,316,2021776640687,406,5456569966598,522,7015589957055,672,0448615659071

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{90}{70} = 1, 2857142857142858$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 1, 2857142857142858$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 70$ , a razão comum: $r = 1, 2857142857142858$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 70 * ((1 - 1, 2857142857142858^{2}) / (1 - 1, 2857142857142858))$

$s_{2} = 70 * ((1 - 1, 6530612244897962) / (1 - 1, 2857142857142858))$

$s_{2} = 70 * (- 0, 6530612244897962 / (1 - 1, 2857142857142858))$

$s_{2} = 70 * (- 0, 6530612244897962 / - 0, 2857142857142858)$

$s_{2} = 70 \cdot 2, 285714285714286$

$s_{2} = 160, 00000000000003$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 70$ e a razão comum: $r = 1, 2857142857142858$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 70$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{2 - 1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858 = 90$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{3 - 1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{2} = 70 \cdot 1, 6530612244897962 = 115, 71428571428574$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{4 - 1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{3} = 70 \cdot 2, 125364431486881 = 148, 77551020408168$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{5 - 1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{4} = 70 \cdot 2, 732611411911704 = 191, 2827988338193$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{6 - 1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{5} = 70 \cdot 3, 513357529600763 = 245, 9350270720534$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{7 - 1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{6} = 70 \cdot 4, 517173966629553 = 316, 2021776640687$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{8 - 1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{7} = 70 \cdot 5, 8077950999522825 = 406, 5456569966598$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{9 - 1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{8} = 70 \cdot 7, 467165128510078 = 522, 7015589957055$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{10 - 1} = 70 \cdot 1, 2857142857142858^{9} = 70 \cdot 9, 600640879512959 = 672, 0448615659071$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas