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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 0, 42857142857142855

r=0,42857142857142855

A soma desta sequência é:

s = 100

s=100

A forma geral desta série é:

a_{n} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{n - 1}

a_n=70*0,42857142857142855^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

70, 30, 12, 857142857142856, 5, 5102040816326525, 2, 3615160349854225, 1, 012078300708038, 0, 43374784316058773, 0, 185891932783109, 0, 07966797119276099, 0, 034143416225469

70,30,12,857142857142856,5,5102040816326525,2,3615160349854225,1,012078300708038,0,43374784316058773,0,185891932783109,0,07966797119276099,0,034143416225469

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{30}{70} = 0, 42857142857142855$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 0, 42857142857142855$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 70$ , a razão comum: $r = 0, 42857142857142855$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 70 * ((1 - 0, 42857142857142855^{2}) / (1 - 0, 42857142857142855))$

$s_{2} = 70 * ((1 - 0, 18367346938775508) / (1 - 0, 42857142857142855))$

$s_{2} = 70 * (0, 8163265306122449 / (1 - 0, 42857142857142855))$

$s_{2} = 70 * (0, 8163265306122449 / 0, 5714285714285714)$

$s_{2} = 70 \cdot 1, 4285714285714286$

$s_{2} = 100$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 70$ e a razão comum: $r = 0, 42857142857142855$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 70$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{2 - 1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855 = 30$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{3 - 1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{2} = 70 \cdot 0, 18367346938775508 = 12, 857142857142856$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{4 - 1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{3} = 70 \cdot 0, 07871720116618075 = 5, 5102040816326525$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{5 - 1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{4} = 70 \cdot 0, 033735943356934604 = 2, 3615160349854225$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{6 - 1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{5} = 70 \cdot 0, 014458261438686257 = 1, 012078300708038$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{7 - 1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{6} = 70 \cdot 0, 0061963977594369675 = 0, 43374784316058773$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{8 - 1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{7} = 70 \cdot 0, 0026555990397587 = 0, 185891932783109$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{9 - 1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{8} = 70 \cdot 0, 0011381138741823 = 0, 07966797119276099$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{10 - 1} = 70 \cdot 0, 42857142857142855^{9} = 70 \cdot 0, 0004877630889352714 = 0, 034143416225469$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas