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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 5

r=5

A soma desta sequência é:

s = 390

s=390

A forma geral desta série é:

a_{n} = 65 \cdot 5^{n - 1}

a_n=65*5^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

65, 325, 1625, 8125, 40625, 203125, 1015625, 5078125, 25390625, 126953125

65,325,1625,8125,40625,203125,1015625,5078125,25390625,126953125

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{325}{65} = 5$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 5$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 65$ , a razão comum: $r = 5$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 65 * ((1 - 5^{2}) / (1 - 5))$

$s_{2} = 65 * ((1 - 25) / (1 - 5))$

$s_{2} = 65 * (- 24 / (1 - 5))$

$s_{2} = 65 * (- 24 / - 4)$

$s_{2} = 65 \cdot 6$

$s_{2} = 390$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 65$ e a razão comum: $r = 5$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 65 \cdot 5^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 65$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot 5^{2 - 1} = 65 \cdot 5^{1} = 65 \cdot 5 = 325$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot 5^{3 - 1} = 65 \cdot 5^{2} = 65 \cdot 25 = 1625$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot 5^{4 - 1} = 65 \cdot 5^{3} = 65 \cdot 125 = 8125$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot 5^{5 - 1} = 65 \cdot 5^{4} = 65 \cdot 625 = 40625$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot 5^{6 - 1} = 65 \cdot 5^{5} = 65 \cdot 3125 = 203125$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot 5^{7 - 1} = 65 \cdot 5^{6} = 65 \cdot 15625 = 1015625$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot 5^{8 - 1} = 65 \cdot 5^{7} = 65 \cdot 78125 = 5078125$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot 5^{9 - 1} = 65 \cdot 5^{8} = 65 \cdot 390625 = 25390625$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot 5^{10 - 1} = 65 \cdot 5^{9} = 65 \cdot 1953125 = 126953125$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas