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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 1, 7777777777777777

r=1,7777777777777777

A soma desta sequência é:

s = 150

s=150

A forma geral desta série é:

a_{n} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{n - 1}

a_n=54*1,7777777777777777^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

54, 96, 170, 66666666666666, 303, 40740740740733, 539, 3909465020575, 958, 9172382258799, 1704, 7417568460087, 3030, 6520121706817, 5387, 825799414545, 9578, 356976736968

54,96,170,66666666666666,303,40740740740733,539,3909465020575,958,9172382258799,1704,7417568460087,3030,6520121706817,5387,825799414545,9578,356976736968

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{96}{54} = 1, 7777777777777777$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 1, 7777777777777777$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 54$ , a razão comum: $r = 1, 7777777777777777$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 54 * ((1 - 1, 7777777777777777^{2}) / (1 - 1, 7777777777777777))$

$s_{2} = 54 * ((1 - 3, 1604938271604937) / (1 - 1, 7777777777777777))$

$s_{2} = 54 * (- 2, 1604938271604937 / (1 - 1, 7777777777777777))$

$s_{2} = 54 * (- 2, 1604938271604937 / - 0, 7777777777777777)$

$s_{2} = 54 \cdot 2, 777777777777778$

$s_{2} = 150, 00000000000003$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 54$ e a razão comum: $r = 1, 7777777777777777$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 54$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{2 - 1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777 = 96$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{3 - 1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{2} = 54 \cdot 3, 1604938271604937 = 170, 66666666666666$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{4 - 1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{3} = 54 \cdot 5, 6186556927297655 = 303, 40740740740733$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{5 - 1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{4} = 54 \cdot 9, 988721231519584 = 539, 3909465020575$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{6 - 1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{5} = 54 \cdot 17, 75772663381259 = 958, 9172382258799$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{7 - 1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{6} = 54 \cdot 31, 569291793444606 = 1704, 7417568460087$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{8 - 1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{7} = 54 \cdot 56, 12318541056818 = 3030, 6520121706817$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{9 - 1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{8} = 54 \cdot 99, 7745518410101 = 5387, 825799414545$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{10 - 1} = 54 \cdot 1, 7777777777777777^{9} = 54 \cdot 177, 3769810506846 = 9578, 356976736968$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas