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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 3, 3333333333333335

r=3,3333333333333335

A soma desta sequência é:

s = 234

s=234

A forma geral desta série é:

a_{n} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{n - 1}

a_n=54*3,3333333333333335^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

54, 180, 600, 0000000000001, 2000, 0000000000005, 6666, 666666666668, 22222, 22222222223, 74074, 07407407409, 246913, 58024691365, 823045, 2674897122, 2743484, 224965708

54,180,600,0000000000001,2000,0000000000005,6666,666666666668,22222,22222222223,74074,07407407409,246913,58024691365,823045,2674897122,2743484,224965708

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{180}{54} = 3, 3333333333333335$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 3, 3333333333333335$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 54$ , a razão comum: $r = 3, 3333333333333335$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 54 * ((1 - 3, 3333333333333335^{2}) / (1 - 3, 3333333333333335))$

$s_{2} = 54 * ((1 - 11, 111111111111112) / (1 - 3, 3333333333333335))$

$s_{2} = 54 * (- 10, 111111111111112 / (1 - 3, 3333333333333335))$

$s_{2} = 54 * (- 10, 111111111111112 / - 2, 3333333333333335)$

$s_{2} = 54 \cdot 4, 333333333333334$

$s_{2} = 234, 00000000000003$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 54$ e a razão comum: $r = 3, 3333333333333335$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 54$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{2 - 1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335 = 180$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{3 - 1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{2} = 54 \cdot 11, 111111111111112 = 600, 0000000000001$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{4 - 1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{3} = 54 \cdot 37, 037037037037045 = 2000, 0000000000005$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{5 - 1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{4} = 54 \cdot 123, 45679012345681 = 6666, 666666666668$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{6 - 1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{5} = 54 \cdot 411, 5226337448561 = 22222, 22222222223$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{7 - 1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{6} = 54 \cdot 1371, 7421124828536 = 74074, 07407407409$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{8 - 1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{7} = 54 \cdot 4572, 4737082761785 = 246913, 58024691365$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{9 - 1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{8} = 54 \cdot 15241, 579027587264 = 823045, 2674897122$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{10 - 1} = 54 \cdot 3, 3333333333333335^{9} = 54 \cdot 50805, 26342529088 = 2743484, 224965708$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas