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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 2, 142857142857143

r=2,142857142857143

A soma desta sequência é:

s = 132

s=132

A forma geral desta série é:

a_{n} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{n - 1}

a_n=42*2,142857142857143^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

42, 90, 192, 85714285714283, 413, 265306122449, 885, 5685131195333, 1897, 6468138275713, 4066, 38602963051, 8713, 684349208237, 18672, 180748303363, 40011, 81588922149

42,90,192,85714285714283,413,265306122449,885,5685131195333,1897,6468138275713,4066,38602963051,8713,684349208237,18672,180748303363,40011,81588922149

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{90}{42} = 2, 142857142857143$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 2, 142857142857143$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 42$ , a razão comum: $r = 2, 142857142857143$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 42 * ((1 - 2, 142857142857143^{2}) / (1 - 2, 142857142857143))$

$s_{2} = 42 * ((1 - 4, 591836734693877) / (1 - 2, 142857142857143))$

$s_{2} = 42 * (- 3, 591836734693877 / (1 - 2, 142857142857143))$

$s_{2} = 42 * (- 3, 591836734693877 / - 1, 1428571428571428)$

$s_{2} = 42 \cdot 3, 142857142857143$

$s_{2} = 132$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 42$ e a razão comum: $r = 2, 142857142857143$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 42$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{2 - 1} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{1} = 42 \cdot 2, 142857142857143 = 90$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{3 - 1} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{2} = 42 \cdot 4, 591836734693877 = 192, 85714285714283$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{4 - 1} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{3} = 42 \cdot 9, 839650145772595 = 413, 265306122449$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{5 - 1} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{4} = 42 \cdot 21, 084964598084127 = 885, 5685131195333$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{6 - 1} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{5} = 42 \cdot 45, 18206699589456 = 1897, 6468138275713$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{7 - 1} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{6} = 42 \cdot 96, 81871499120263 = 4066, 38602963051$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{8 - 1} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{7} = 42 \cdot 207, 4686749811485 = 8713, 684349208237$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{9 - 1} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{8} = 42 \cdot 444, 575732102461 = 18672, 180748303363$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{10 - 1} = 42 \cdot 2, 142857142857143^{9} = 42 \cdot 952, 6622830767021 = 40011, 81588922149$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas