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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 0, 7857142857142857

r=0,7857142857142857

A soma desta sequência é:

s = 75

s=75

A forma geral desta série é:

a_{n} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{n - 1}

a_n=42*0,7857142857142857^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

42, 33, 25, 928571428571427, 20, 372448979591837, 16, 00692419825073, 12, 576869012911287, 9, 881825653001725, 7, 764291584501355, 6, 100514816393922, 4, 793261641452366

42,33,25,928571428571427,20,372448979591837,16,00692419825073,12,576869012911287,9,881825653001725,7,764291584501355,6,100514816393922,4,793261641452366

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{33}{42} = 0, 7857142857142857$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 0, 7857142857142857$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 42$ , a razão comum: $r = 0, 7857142857142857$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 42 * ((1 - 0, 7857142857142857^{2}) / (1 - 0, 7857142857142857))$

$s_{2} = 42 * ((1 - 0, 6173469387755102) / (1 - 0, 7857142857142857))$

$s_{2} = 42 * (0, 38265306122448983 / (1 - 0, 7857142857142857))$

$s_{2} = 42 * (0, 38265306122448983 / 0, 2142857142857143)$

$s_{2} = 42 \cdot 1, 7857142857142858$

$s_{2} = 75$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 42$ e a razão comum: $r = 0, 7857142857142857$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 42$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{2 - 1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857 = 33$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{3 - 1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{2} = 42 \cdot 0, 6173469387755102 = 25, 928571428571427$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{4 - 1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{3} = 42 \cdot 0, 48505830903790087 = 20, 372448979591837$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{5 - 1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{4} = 42 \cdot 0, 38111724281549353 = 16, 00692419825073$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{6 - 1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{5} = 42 \cdot 0, 2994492622121735 = 12, 576869012911287$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{7 - 1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{6} = 42 \cdot 0, 23528156316670773 = 9, 881825653001725$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{8 - 1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{7} = 42 \cdot 0, 18486408534527035 = 7, 764291584501355$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{9 - 1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{8} = 42 \cdot 0, 14525035277128384 = 6, 100514816393922$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{10 - 1} = 42 \cdot 0, 7857142857142857^{9} = 42 \cdot 0, 1141252771774373 = 4, 793261641452366$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas