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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 6, 428571428571429

r=6,428571428571429

A soma desta sequência é:

s = 312

s=312

A forma geral desta série é:

a_{n} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{n - 1}

a_n=42*6,428571428571429^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

42, 270, 1735, 7142857142858, 11158, 163265306124, 71731, 04956268222, 461128, 1757601, 2964395, 4156006435, 19056827, 671718422, 122508177, 88961843, 787552572, 147547

42,270,1735,7142857142858,11158,163265306124,71731,04956268222,461128,1757601,2964395,4156006435,19056827,671718422,122508177,88961843,787552572,147547

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{270}{42} = 6, 428571428571429$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 6, 428571428571429$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 42$ , a razão comum: $r = 6, 428571428571429$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 42 * ((1 - 6, 428571428571429^{2}) / (1 - 6, 428571428571429))$

$s_{2} = 42 * ((1 - 41, 3265306122449) / (1 - 6, 428571428571429))$

$s_{2} = 42 * (- 40, 3265306122449 / (1 - 6, 428571428571429))$

$s_{2} = 42 * (- 40, 3265306122449 / - 5, 428571428571429)$

$s_{2} = 42 \cdot 7, 428571428571429$

$s_{2} = 312$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 42$ e a razão comum: $r = 6, 428571428571429$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 42$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{2 - 1} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{1} = 42 \cdot 6, 428571428571429 = 270$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{3 - 1} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{2} = 42 \cdot 41, 3265306122449 = 1735, 7142857142858$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{4 - 1} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{3} = 42 \cdot 265, 6705539358601 = 11158, 163265306124$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{5 - 1} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{4} = 42 \cdot 1707, 882132444815 = 71731, 04956268222$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{6 - 1} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{5} = 42 \cdot 10979, 242280002381 = 461128, 1757601$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{7 - 1} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{6} = 42 \cdot 70580, 84322858675 = 2964395, 4156006435$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{8 - 1} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{7} = 42 \cdot 453733, 992183772 = 19056827, 671718422$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{9 - 1} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{8} = 42 \cdot 2916861, 3783242484 = 122508177, 88961843$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{10 - 1} = 42 \cdot 6, 428571428571429^{9} = 42 \cdot 18751251, 71779874 = 787552572, 147547$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas