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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 3, 3333333333333335

r=3,3333333333333335

A soma desta sequência é:

s = 182

s=182

A forma geral desta série é:

a_{n} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{n - 1}

a_n=42*3,3333333333333335^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

42, 140, 466, 66666666666674, 1555, 5555555555559, 5185, 185185185186, 17283, 950617283954, 57613, 16872427985, 192043, 89574759948, 640146, 3191586651, 2133821, 063862217

42,140,466,66666666666674,1555,5555555555559,5185,185185185186,17283,950617283954,57613,16872427985,192043,89574759948,640146,3191586651,2133821,063862217

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{140}{42} = 3, 3333333333333335$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 3, 3333333333333335$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 42$ , a razão comum: $r = 3, 3333333333333335$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 42 * ((1 - 3, 3333333333333335^{2}) / (1 - 3, 3333333333333335))$

$s_{2} = 42 * ((1 - 11, 111111111111112) / (1 - 3, 3333333333333335))$

$s_{2} = 42 * (- 10, 111111111111112 / (1 - 3, 3333333333333335))$

$s_{2} = 42 * (- 10, 111111111111112 / - 2, 3333333333333335)$

$s_{2} = 42 \cdot 4, 333333333333334$

$s_{2} = 182, 00000000000003$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 42$ e a razão comum: $r = 3, 3333333333333335$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 42$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{2 - 1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335 = 140$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{3 - 1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{2} = 42 \cdot 11, 111111111111112 = 466, 66666666666674$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{4 - 1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{3} = 42 \cdot 37, 037037037037045 = 1555, 5555555555559$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{5 - 1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{4} = 42 \cdot 123, 45679012345681 = 5185, 185185185186$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{6 - 1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{5} = 42 \cdot 411, 5226337448561 = 17283, 950617283954$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{7 - 1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{6} = 42 \cdot 1371, 7421124828536 = 57613, 16872427985$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{8 - 1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{7} = 42 \cdot 4572, 4737082761785 = 192043, 89574759948$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{9 - 1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{8} = 42 \cdot 15241, 579027587264 = 640146, 3191586651$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{10 - 1} = 42 \cdot 3, 3333333333333335^{9} = 42 \cdot 50805, 26342529088 = 2133821, 063862217$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas