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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 0, 5714285714285714

r=0,5714285714285714

A soma desta sequência é:

s = 55

s=55

A forma geral desta série é:

a_{n} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{n - 1}

a_n=35*0,5714285714285714^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

35, 20, 11, 428571428571427, 6, 530612244897958, 3, 731778425655976, 2, 1324448146605577, 1, 218539894091747, 0, 6963085109095697, 0, 39789057766261127, 0, 22736604437863497

35,20,11,428571428571427,6,530612244897958,3,731778425655976,2,1324448146605577,1,218539894091747,0,6963085109095697,0,39789057766261127,0,22736604437863497

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{20}{35} = 0, 5714285714285714$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 0, 5714285714285714$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 35$ , a razão comum: $r = 0, 5714285714285714$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 35 * ((1 - 0, 5714285714285714^{2}) / (1 - 0, 5714285714285714))$

$s_{2} = 35 * ((1 - 0, 32653061224489793) / (1 - 0, 5714285714285714))$

$s_{2} = 35 * (0, 6734693877551021 / (1 - 0, 5714285714285714))$

$s_{2} = 35 * (0, 6734693877551021 / 0, 4285714285714286)$

$s_{2} = 35 \cdot 1, 5714285714285714$

$s_{2} = 55$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 35$ e a razão comum: $r = 0, 5714285714285714$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 35$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{2 - 1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714 = 20$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{3 - 1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{2} = 35 \cdot 0, 32653061224489793 = 11, 428571428571427$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{4 - 1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{3} = 35 \cdot 0, 1865889212827988 = 6, 530612244897958$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{5 - 1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{4} = 35 \cdot 0, 10662224073302788 = 3, 731778425655976$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{6 - 1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{5} = 35 \cdot 0, 06092699470458736 = 2, 1324448146605577$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{7 - 1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{6} = 35 \cdot 0, 034815425545478486 = 1, 218539894091747$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{8 - 1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{7} = 35 \cdot 0, 019894528883130563 = 0, 6963085109095697$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{9 - 1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{8} = 35 \cdot 0, 01136830221893175 = 0, 39789057766261127$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{10 - 1} = 35 \cdot 0, 5714285714285714^{9} = 35 \cdot 0, 006496172696532428 = 0, 22736604437863497$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas