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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 2, 5

r=2,5

A soma desta sequência é:

s = 112

s=112

A forma geral desta série é:

a_{n} = 32 \cdot 2, 5^{n - 1}

a_n=32*2,5^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

32, 80, 200, 500, 1250, 3125, 7812, 5, 19531, 25, 48828, 125, 122070, 3125

32,80,200,500,1250,3125,7812,5,19531,25,48828,125,122070,3125

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{80}{32} = 2, 5$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 2, 5$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 32$ , a razão comum: $r = 2, 5$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 32 * ((1 - 2, 5^{2}) / (1 - 2, 5))$

$s_{2} = 32 * ((1 - 6, 25) / (1 - 2, 5))$

$s_{2} = 32 * (- 5, 25 / (1 - 2, 5))$

$s_{2} = 32 * (- 5, 25 / - 1, 5)$

$s_{2} = 32 \cdot 3, 5$

$s_{2} = 112$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 32$ e a razão comum: $r = 2, 5$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 32 \cdot 2, 5^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 32$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot 2, 5^{2 - 1} = 32 \cdot 2, 5^{1} = 32 \cdot 2, 5 = 80$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot 2, 5^{3 - 1} = 32 \cdot 2, 5^{2} = 32 \cdot 6, 25 = 200$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot 2, 5^{4 - 1} = 32 \cdot 2, 5^{3} = 32 \cdot 15, 625 = 500$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot 2, 5^{5 - 1} = 32 \cdot 2, 5^{4} = 32 \cdot 39, 0625 = 1250$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot 2, 5^{6 - 1} = 32 \cdot 2, 5^{5} = 32 \cdot 97, 65625 = 3125$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot 2, 5^{7 - 1} = 32 \cdot 2, 5^{6} = 32 \cdot 244, 140625 = 7812, 5$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot 2, 5^{8 - 1} = 32 \cdot 2, 5^{7} = 32 \cdot 610, 3515625 = 19531, 25$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot 2, 5^{9 - 1} = 32 \cdot 2, 5^{8} = 32 \cdot 1525, 87890625 = 48828, 125$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot 2, 5^{10 - 1} = 32 \cdot 2, 5^{9} = 32 \cdot 3814, 697265625 = 122070, 3125$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas