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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 3, 3333333333333335

r=3,3333333333333335

A soma desta sequência é:

s = 1170

s=1170

A forma geral desta série é:

a_{n} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{n - 1}

a_n=270*3,3333333333333335^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

270, 900, 3000, 0000000000005, 10000, 000000000002, 33333, 33333333334, 111111, 11111111114, 370370, 37037037045, 1234567, 901234568, 4115226, 337448561, 13717421, 124828538

270,900,3000,0000000000005,10000,000000000002,33333,33333333334,111111,11111111114,370370,37037037045,1234567,901234568,4115226,337448561,13717421,124828538

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{900}{270} = 3, 3333333333333335$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 3, 3333333333333335$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 270$ , a razão comum: $r = 3, 3333333333333335$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 270 * ((1 - 3, 3333333333333335^{2}) / (1 - 3, 3333333333333335))$

$s_{2} = 270 * ((1 - 11, 111111111111112) / (1 - 3, 3333333333333335))$

$s_{2} = 270 * (- 10, 111111111111112 / (1 - 3, 3333333333333335))$

$s_{2} = 270 * (- 10, 111111111111112 / - 2, 3333333333333335)$

$s_{2} = 270 \cdot 4, 333333333333334$

$s_{2} = 1170, 0000000000002$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 270$ e a razão comum: $r = 3, 3333333333333335$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 270$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{2 - 1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335 = 900$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{3 - 1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{2} = 270 \cdot 11, 111111111111112 = 3000, 0000000000005$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{4 - 1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{3} = 270 \cdot 37, 037037037037045 = 10000, 000000000002$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{5 - 1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{4} = 270 \cdot 123, 45679012345681 = 33333, 33333333334$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{6 - 1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{5} = 270 \cdot 411, 5226337448561 = 111111, 11111111114$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{7 - 1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{6} = 270 \cdot 1371, 7421124828536 = 370370, 37037037045$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{8 - 1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{7} = 270 \cdot 4572, 4737082761785 = 1234567, 901234568$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{9 - 1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{8} = 270 \cdot 15241, 579027587264 = 4115226, 337448561$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{10 - 1} = 270 \cdot 3, 3333333333333335^{9} = 270 \cdot 50805, 26342529088 = 13717421, 124828538$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas