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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 2, 3333333333333335

r=2,3333333333333335

A soma desta sequência é:

s = 70

s=70

A forma geral desta série é:

a_{n} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{n - 1}

a_n=21*2,3333333333333335^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

21, 49, 114, 33333333333336, 266, 7777777777778, 622, 4814814814816, 1452, 4567901234573, 3389, 0658436214003, 7907, 820301783268, 18451, 58070416096, 43053, 68830970891

21,49,114,33333333333336,266,7777777777778,622,4814814814816,1452,4567901234573,3389,0658436214003,7907,820301783268,18451,58070416096,43053,68830970891

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{49}{21} = 2, 3333333333333335$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 2, 3333333333333335$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 21$ , a razão comum: $r = 2, 3333333333333335$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 21 * ((1 - 2, 3333333333333335^{2}) / (1 - 2, 3333333333333335))$

$s_{2} = 21 * ((1 - 5, 4444444444444455) / (1 - 2, 3333333333333335))$

$s_{2} = 21 * (- 4, 4444444444444455 / (1 - 2, 3333333333333335))$

$s_{2} = 21 * (- 4, 4444444444444455 / - 1, 3333333333333335)$

$s_{2} = 21 \cdot 3, 333333333333334$

$s_{2} = 70, 00000000000001$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 21$ e a razão comum: $r = 2, 3333333333333335$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 21$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{2 - 1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335 = 49$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{3 - 1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{2} = 21 \cdot 5, 4444444444444455 = 114, 33333333333336$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{4 - 1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{3} = 21 \cdot 12, 703703703703706 = 266, 7777777777778$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{5 - 1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{4} = 21 \cdot 29, 64197530864198 = 622, 4814814814816$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{6 - 1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{5} = 21 \cdot 69, 16460905349797 = 1452, 4567901234573$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{7 - 1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{6} = 21 \cdot 161, 38408779149526 = 3389, 0658436214003$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{8 - 1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{7} = 21 \cdot 376, 562871513489 = 7907, 820301783268$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{9 - 1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{8} = 21 \cdot 878, 6467001981409 = 18451, 58070416096$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{10 - 1} = 21 \cdot 2, 3333333333333335^{9} = 21 \cdot 2050, 175633795662 = 43053, 68830970891$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas