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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 0, 7142857142857143

r=0,7142857142857143

A soma desta sequência é:

s = 36

s=36

A forma geral desta série é:

a_{n} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{n - 1}

a_n=21*0,7142857142857143^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

21, 15, 10, 714285714285715, 7, 653061224489797, 5, 466472303206998, 3, 904623073719284, 2, 78901648122806, 1, 9921546294486145, 1, 422967592463296, 1, 0164054231880686

21,15,10,714285714285715,7,653061224489797,5,466472303206998,3,904623073719284,2,78901648122806,1,9921546294486145,1,422967592463296,1,0164054231880686

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{15}{21} = 0, 7142857142857143$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 0, 7142857142857143$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 21$ , a razão comum: $r = 0, 7142857142857143$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 21 * ((1 - 0, 7142857142857143^{2}) / (1 - 0, 7142857142857143))$

$s_{2} = 21 * ((1 - 0, 5102040816326531) / (1 - 0, 7142857142857143))$

$s_{2} = 21 * (0, 4897959183673469 / (1 - 0, 7142857142857143))$

$s_{2} = 21 * (0, 4897959183673469 / 0, 2857142857142857)$

$s_{2} = 21 \cdot 1, 7142857142857144$

$s_{2} = 36$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 21$ e a razão comum: $r = 0, 7142857142857143$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 21$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{2 - 1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143 = 15$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{3 - 1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{2} = 21 \cdot 0, 5102040816326531 = 10, 714285714285715$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{4 - 1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{3} = 21 \cdot 0, 3644314868804665 = 7, 653061224489797$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{5 - 1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{4} = 21 \cdot 0, 2603082049146189 = 5, 466472303206998$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{6 - 1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{5} = 21 \cdot 0, 18593443208187066 = 3, 904623073719284$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{7 - 1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{6} = 21 \cdot 0, 13281030862990761 = 2, 78901648122806$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{8 - 1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{7} = 21 \cdot 0, 09486450616421974 = 1, 9921546294486145$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{9 - 1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{8} = 21 \cdot 0, 06776036154587124 = 1, 422967592463296$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{10 - 1} = 21 \cdot 0, 7142857142857143^{9} = 21 \cdot 0, 04840025824705089 = 1, 0164054231880686$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas