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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 3, 5

r=3,5

A soma desta sequência é:

s = 90

s=90

A forma geral desta série é:

a_{n} = 20 \cdot 3, 5^{n - 1}

a_n=20*3,5^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

20, 70, 245, 857, 5, 3001, 25, 10504, 375, 36765, 3125, 128678, 59375, 450375, 078125, 1576312, 7734375

20,70,245,857,5,3001,25,10504,375,36765,3125,128678,59375,450375,078125,1576312,7734375

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{70}{20} = 3, 5$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 3, 5$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 20$ , a razão comum: $r = 3, 5$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 20 * ((1 - 3, 5^{2}) / (1 - 3, 5))$

$s_{2} = 20 * ((1 - 12, 25) / (1 - 3, 5))$

$s_{2} = 20 * (- 11, 25 / (1 - 3, 5))$

$s_{2} = 20 * (- 11, 25 / - 2, 5)$

$s_{2} = 20 \cdot 4, 5$

$s_{2} = 90$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 20$ e a razão comum: $r = 3, 5$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 20 \cdot 3, 5^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 20$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot 3, 5^{2 - 1} = 20 \cdot 3, 5^{1} = 20 \cdot 3, 5 = 70$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot 3, 5^{3 - 1} = 20 \cdot 3, 5^{2} = 20 \cdot 12, 25 = 245$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot 3, 5^{4 - 1} = 20 \cdot 3, 5^{3} = 20 \cdot 42, 875 = 857, 5$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot 3, 5^{5 - 1} = 20 \cdot 3, 5^{4} = 20 \cdot 150, 0625 = 3001, 25$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot 3, 5^{6 - 1} = 20 \cdot 3, 5^{5} = 20 \cdot 525, 21875 = 10504, 375$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot 3, 5^{7 - 1} = 20 \cdot 3, 5^{6} = 20 \cdot 1838, 265625 = 36765, 3125$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot 3, 5^{8 - 1} = 20 \cdot 3, 5^{7} = 20 \cdot 6433, 9296875 = 128678, 59375$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot 3, 5^{9 - 1} = 20 \cdot 3, 5^{8} = 20 \cdot 22518, 75390625 = 450375, 078125$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot 3, 5^{10 - 1} = 20 \cdot 3, 5^{9} = 20 \cdot 78815, 638671875 = 1576312, 7734375$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas