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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 0, 75

r=0,75

A soma desta sequência é:

s = 35

s=35

A forma geral desta série é:

a_{n} = 20 \cdot 0, 75^{n - 1}

a_n=20*0,75^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

20, 15, 11, 25, 8, 4375, 6, 328125, 4, 74609375, 3, 5595703125, 2, 669677734375, 2, 00225830078125, 1, 5016937255859375

20,15,11,25,8,4375,6,328125,4,74609375,3,5595703125,2,669677734375,2,00225830078125,1,5016937255859375

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{15}{20} = 0, 75$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 0, 75$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 20$ , a razão comum: $r = 0, 75$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 20 * ((1 - 0, 75^{2}) / (1 - 0, 75))$

$s_{2} = 20 * ((1 - 0, 5625) / (1 - 0, 75))$

$s_{2} = 20 * (0, 4375 / (1 - 0, 75))$

$s_{2} = 20 * (0, 4375 / 0, 25)$

$s_{2} = 20 \cdot 1, 75$

$s_{2} = 35$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 20$ e a razão comum: $r = 0, 75$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 20 \cdot 0, 75^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 20$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot 0, 75^{2 - 1} = 20 \cdot 0, 75^{1} = 20 \cdot 0, 75 = 15$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot 0, 75^{3 - 1} = 20 \cdot 0, 75^{2} = 20 \cdot 0, 5625 = 11, 25$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot 0, 75^{4 - 1} = 20 \cdot 0, 75^{3} = 20 \cdot 0, 421875 = 8, 4375$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot 0, 75^{5 - 1} = 20 \cdot 0, 75^{4} = 20 \cdot 0, 31640625 = 6, 328125$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot 0, 75^{6 - 1} = 20 \cdot 0, 75^{5} = 20 \cdot 0, 2373046875 = 4, 74609375$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot 0, 75^{7 - 1} = 20 \cdot 0, 75^{6} = 20 \cdot 0, 177978515625 = 3, 5595703125$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot 0, 75^{8 - 1} = 20 \cdot 0, 75^{7} = 20 \cdot 0, 13348388671875 = 2, 669677734375$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot 0, 75^{9 - 1} = 20 \cdot 0, 75^{8} = 20 \cdot 0, 1001129150390625 = 2, 00225830078125$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot 0, 75^{10 - 1} = 20 \cdot 0, 75^{9} = 20 \cdot 0, 07508468627929688 = 1, 5016937255859375$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas