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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 2, 5

r=2,5

A soma desta sequência é:

s = 630

s=630

A forma geral desta série é:

a_{n} = 180 \cdot 2, 5^{n - 1}

a_n=180*2,5^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

180, 450, 1125, 2812, 5, 7031, 25, 17578, 125, 43945, 3125, 109863, 28125, 274658, 203125, 686645, 5078125

180,450,1125,2812,5,7031,25,17578,125,43945,3125,109863,28125,274658,203125,686645,5078125

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{450}{180} = 2, 5$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 2, 5$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 180$ , a razão comum: $r = 2, 5$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 180 * ((1 - 2, 5^{2}) / (1 - 2, 5))$

$s_{2} = 180 * ((1 - 6, 25) / (1 - 2, 5))$

$s_{2} = 180 * (- 5, 25 / (1 - 2, 5))$

$s_{2} = 180 * (- 5, 25 / - 1, 5)$

$s_{2} = 180 \cdot 3, 5$

$s_{2} = 630$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 180$ e a razão comum: $r = 2, 5$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 180 \cdot 2, 5^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 180$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot 2, 5^{2 - 1} = 180 \cdot 2, 5^{1} = 180 \cdot 2, 5 = 450$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot 2, 5^{3 - 1} = 180 \cdot 2, 5^{2} = 180 \cdot 6, 25 = 1125$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot 2, 5^{4 - 1} = 180 \cdot 2, 5^{3} = 180 \cdot 15, 625 = 2812, 5$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot 2, 5^{5 - 1} = 180 \cdot 2, 5^{4} = 180 \cdot 39, 0625 = 7031, 25$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot 2, 5^{6 - 1} = 180 \cdot 2, 5^{5} = 180 \cdot 97, 65625 = 17578, 125$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot 2, 5^{7 - 1} = 180 \cdot 2, 5^{6} = 180 \cdot 244, 140625 = 43945, 3125$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot 2, 5^{8 - 1} = 180 \cdot 2, 5^{7} = 180 \cdot 610, 3515625 = 109863, 28125$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot 2, 5^{9 - 1} = 180 \cdot 2, 5^{8} = 180 \cdot 1525, 87890625 = 274658, 203125$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot 2, 5^{10 - 1} = 180 \cdot 2, 5^{9} = 180 \cdot 3814, 697265625 = 686645, 5078125$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas