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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 3, 3333333333333335

r=3,3333333333333335

A soma desta sequência é:

s = 65

s=65

A forma geral desta série é:

a_{n} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{n - 1}

a_n=15*3,3333333333333335^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

15, 50, 166, 66666666666669, 555, 5555555555557, 1851, 8518518518522, 6172, 8395061728415, 20576, 131687242803, 68587, 10562414268, 228623, 68541380897, 762078, 9513793632

15,50,166,66666666666669,555,5555555555557,1851,8518518518522,6172,8395061728415,20576,131687242803,68587,10562414268,228623,68541380897,762078,9513793632

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{50}{15} = 3, 3333333333333335$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 3, 3333333333333335$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 15$ , a razão comum: $r = 3, 3333333333333335$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 15 * ((1 - 3, 3333333333333335^{2}) / (1 - 3, 3333333333333335))$

$s_{2} = 15 * ((1 - 11, 111111111111112) / (1 - 3, 3333333333333335))$

$s_{2} = 15 * (- 10, 111111111111112 / (1 - 3, 3333333333333335))$

$s_{2} = 15 * (- 10, 111111111111112 / - 2, 3333333333333335)$

$s_{2} = 15 \cdot 4, 333333333333334$

$s_{2} = 65, 00000000000001$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 15$ e a razão comum: $r = 3, 3333333333333335$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 15$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{2 - 1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335 = 50$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{3 - 1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{2} = 15 \cdot 11, 111111111111112 = 166, 66666666666669$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{4 - 1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{3} = 15 \cdot 37, 037037037037045 = 555, 5555555555557$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{5 - 1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{4} = 15 \cdot 123, 45679012345681 = 1851, 8518518518522$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{6 - 1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{5} = 15 \cdot 411, 5226337448561 = 6172, 8395061728415$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{7 - 1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{6} = 15 \cdot 1371, 7421124828536 = 20576, 131687242803$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{8 - 1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{7} = 15 \cdot 4572, 4737082761785 = 68587, 10562414268$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{9 - 1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{8} = 15 \cdot 15241, 579027587264 = 228623, 68541380897$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{10 - 1} = 15 \cdot 3, 3333333333333335^{9} = 15 \cdot 50805, 26342529088 = 762078, 9513793632$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas