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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 20, 333333333333332

r=20,333333333333332

A soma desta sequência é:

s = 320

s=320

A forma geral desta série é:

a_{n} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{n - 1}

a_n=15*20,333333333333332^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

15, 305, 6201, 666666666666, 126100, 55555555553, 2564044, 629629629, 52135574, 135802455, 1060090007, 4279832, 21555163484, 36899, 438288324182, 16943, 8911862591704, 111

15,305,6201,666666666666,126100,55555555553,2564044,629629629,52135574,135802455,1060090007,4279832,21555163484,36899,438288324182,16943,8911862591704,111

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{305}{15} = 20, 333333333333332$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 20, 333333333333332$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 15$ , a razão comum: $r = 20, 333333333333332$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 15 * ((1 - 20, 333333333333332^{2}) / (1 - 20, 333333333333332))$

$s_{2} = 15 * ((1 - 413, 4444444444444) / (1 - 20, 333333333333332))$

$s_{2} = 15 * (- 412, 4444444444444 / (1 - 20, 333333333333332))$

$s_{2} = 15 * (- 412, 4444444444444 / - 19, 333333333333332)$

$s_{2} = 15 \cdot 21, 333333333333332$

$s_{2} = 320$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 15$ e a razão comum: $r = 20, 333333333333332$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 15$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{2 - 1} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{1} = 15 \cdot 20, 333333333333332 = 305$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{3 - 1} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{2} = 15 \cdot 413, 4444444444444 = 6201, 666666666666$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{4 - 1} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{3} = 15 \cdot 8406, 703703703703 = 126100, 55555555553$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{5 - 1} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{4} = 15 \cdot 170936, 30864197528 = 2564044, 629629629$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{6 - 1} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{5} = 15 \cdot 3475704, 94238683 = 52135574, 135802455$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{7 - 1} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{6} = 15 \cdot 70672667, 16186555 = 1060090007, 4279832$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{8 - 1} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{7} = 15 \cdot 1437010898, 9579327 = 21555163484, 36899$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{9 - 1} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{8} = 15 \cdot 29219221612, 14463 = 438288324182, 16943$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{10 - 1} = 15 \cdot 20, 333333333333332^{9} = 15 \cdot 594124172780, 274 = 8911862591704, 111$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas