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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 0, 7142857142857143

r=0,7142857142857143

A soma desta sequência é:

s = 240

s=240

A forma geral desta série é:

a_{n} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{n - 1}

a_n=140*0,7142857142857143^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

140, 100, 71, 42857142857143, 51, 02040816326531, 36, 44314868804665, 26, 030820491461892, 18, 593443208187065, 13, 281030862990763, 9, 486450616421974, 6, 776036154587124

140,100,71,42857142857143,51,02040816326531,36,44314868804665,26,030820491461892,18,593443208187065,13,281030862990763,9,486450616421974,6,776036154587124

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{100}{140} = 0, 7142857142857143$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 0, 7142857142857143$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 140$ , a razão comum: $r = 0, 7142857142857143$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 140 * ((1 - 0, 7142857142857143^{2}) / (1 - 0, 7142857142857143))$

$s_{2} = 140 * ((1 - 0, 5102040816326531) / (1 - 0, 7142857142857143))$

$s_{2} = 140 * (0, 4897959183673469 / (1 - 0, 7142857142857143))$

$s_{2} = 140 * (0, 4897959183673469 / 0, 2857142857142857)$

$s_{2} = 140 \cdot 1, 7142857142857144$

$s_{2} = 240, 00000000000003$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 140$ e a razão comum: $r = 0, 7142857142857143$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 140$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{2 - 1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143 = 100$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{3 - 1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{2} = 140 \cdot 0, 5102040816326531 = 71, 42857142857143$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{4 - 1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{3} = 140 \cdot 0, 3644314868804665 = 51, 02040816326531$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{5 - 1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{4} = 140 \cdot 0, 2603082049146189 = 36, 44314868804665$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{6 - 1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{5} = 140 \cdot 0, 18593443208187066 = 26, 030820491461892$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{7 - 1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{6} = 140 \cdot 0, 13281030862990761 = 18, 593443208187065$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{8 - 1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{7} = 140 \cdot 0, 09486450616421974 = 13, 281030862990763$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{9 - 1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{8} = 140 \cdot 0, 06776036154587124 = 9, 486450616421974$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{10 - 1} = 140 \cdot 0, 7142857142857143^{9} = 140 \cdot 0, 04840025824705089 = 6, 776036154587124$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas