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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 0, 5833333333333334

r=0,5833333333333334

A soma desta sequência é:

s = 190

s=190

A forma geral desta série é:

a_{n} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{n - 1}

a_n=120*0,5833333333333334^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

120, 70, 40, 83333333333334, 23, 81944444444445, 13, 89467592592593, 8, 105227623456793, 4, 7280494470164625, 2, 758028844092937, 1, 6088501590542132, 0, 9384959261149577

120,70,40,83333333333334,23,81944444444445,13,89467592592593,8,105227623456793,4,7280494470164625,2,758028844092937,1,6088501590542132,0,9384959261149577

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{70}{120} = 0, 5833333333333334$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 0, 5833333333333334$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 120$ , a razão comum: $r = 0, 5833333333333334$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 120 * ((1 - 0, 5833333333333334^{2}) / (1 - 0, 5833333333333334))$

$s_{2} = 120 * ((1 - 0, 34027777777777785) / (1 - 0, 5833333333333334))$

$s_{2} = 120 * (0, 6597222222222221 / (1 - 0, 5833333333333334))$

$s_{2} = 120 * (0, 6597222222222221 / 0, 41666666666666663)$

$s_{2} = 120 \cdot 1, 5833333333333333$

$s_{2} = 190$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 120$ e a razão comum: $r = 0, 5833333333333334$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 120$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{2 - 1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334 = 70$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{3 - 1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{2} = 120 \cdot 0, 34027777777777785 = 40, 83333333333334$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{4 - 1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{3} = 120 \cdot 0, 1984953703703704 = 23, 81944444444445$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{5 - 1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{4} = 120 \cdot 0, 11578896604938274 = 13, 89467592592593$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{6 - 1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{5} = 120 \cdot 0, 06754356352880661 = 8, 105227623456793$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{7 - 1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{6} = 120 \cdot 0, 03940041205847052 = 4, 7280494470164625$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{8 - 1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{7} = 120 \cdot 0, 022983573700774473 = 2, 758028844092937$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{9 - 1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{8} = 120 \cdot 0, 01340708465878511 = 1, 6088501590542132$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{10 - 1} = 120 \cdot 0, 5833333333333334^{9} = 120 \cdot 0, 007820799384291314 = 0, 9384959261149577$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas